Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
19.
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Passo 1
Enunciado: calcular
.\n
O que nos é dado: a transformada de Laplace .\n
O que se pede: encontrar a função (para
) cuja transformada de Laplace é
.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: o denominador pode ser fatorado como produto de fatores lineares, o que sugere decomposição em frações parciais antes de aplicar a transformada inversa.
O que nos é dado: a transformada de Laplace
O que se pede: encontrar a função
Informações relevantes extraídas do enunciado: o denominador
Passo 2
Escolha do método: como o denominador se fatorou em termos lineares distintos (
e
), o método mais simples e direto é decompor
em frações parciais e depois usar transformadas inversas conhecidas. Essa é justamente a aplicação prática do Teorema 7.3 (que, neste contexto, garante que se
é soma de termos do tipo
então
é soma de
). Vou usar essa ideia passo a passo.
Passo 3
Fatorar o denominador e escrever a decomposição em frações parciais:
Proponho a decomposição
onde
Desenvolvendo o lado direito temos
Igualando coeficientes de potências de
(coeficiente de
e termo constante), obtemos o sistema:
Da segunda equação vem
obtemos
.]
Passo 4
Reescrevendo
com os coeficientes encontrados:
Agora usamos duas propriedades básicas da transformada de Laplace inversa:
- linearidade:
, para constantes ;\n - transformadas inversas padrão:
(a função constante ) e . Aqui explique rapidinho: a transformada de Laplace de é ; para obtemos , então a inversa é .
Passo 5
Aplicando a inversa a cada termo e usando linearidade:
Substituindo as inversas conhecidas:
Passo 6
Verificação rápida (checagem): calculando a transformada de Laplace de
obtemos
que é exatamente
. Portanto a solução está consistente.