Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
19. \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+3 s}\right\}

Passo 1

Enunciado: calcular \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}+3 s}\right\}.\n
O que nos é dado: a transformada de Laplace \displaystyle F(s)=\frac{1}{s^{2}+3s}.\n
O que se pede: encontrar a função f(t) (para t\ge 0) cuja transformada de Laplace é F(s).\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: o denominador s^{2}+3s pode ser fatorado como produto de fatores lineares, o que sugere decomposição em frações parciais antes de aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Escolha do método: como o denominador se fatorou em termos lineares distintos ( s e s+3), o método mais simples e direto é decompor F(s) em frações parciais e depois usar transformadas inversas conhecidas. Essa é justamente a aplicação prática do Teorema 7.3 (que, neste contexto, garante que se F(s) é soma de termos do tipo \dfrac{A}{s-a} então \mathscr{L}^{-1}\{F(s)\} é soma de A e^{at}). Vou usar essa ideia passo a passo.

Passo 3

Fatorar o denominador e escrever a decomposição em frações parciais: \frac{1}{s^{2}+3s}=\frac{1}{s(s+3)}.
Proponho a decomposição \frac{1}{s(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+3},
onde A\) e \(B\) são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por \(s(s+3)\) obtemos a identidade em \(s\):\[1 = A(s+3)+B s.
Desenvolvendo o lado direito temos 1 = (A+B)s + 3A.
Igualando coeficientes de potências de s (coeficiente de s e termo constante), obtemos o sistema: \begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 3A=1. \end{cases}
Da segunda equação vem \displaystyle A=\frac{1}{3}\]. Substituindo em \(A+B=0 obtemos \displaystyle B=-\frac{1}{3}.]

Passo 4

Reescrevendo F(s) com os coeficientes encontrados: \frac{1}{s(s+3)}=\frac{1/3}{s}-\frac{1/3}{s+3}.
Agora usamos duas propriedades básicas da transformada de Laplace inversa:
  1. linearidade: \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\{aF(s)+bG(s)\}=a\,\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}+b\,\mathscr{L}^{-1}\{G(s)\}, para constantes a,b;\n
  2. transformadas inversas padrão: \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s}\Big\}=1 (a função constante 1) e \displaystyle \mathscr{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s+3}\Big\}=e^{-3t}. Aqui explique rapidinho: a transformada de Laplace de e^{at} é \dfrac{1}{s-a}; para a=-3 obtemos \dfrac{1}{s+3}, então a inversa é e^{-3t}.

Passo 5

Aplicando a inversa a cada termo e usando linearidade: \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s(s+3)}\right\} = \frac{1}{3}\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\} - \frac{1}{3}\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+3}\right\}.
Substituindo as inversas conhecidas: f(t)=\frac{1}{3}\cdot 1 - \frac{1}{3}\cdot e^{-3t}=\frac{1}{3}\left(1-e^{-3t}\right),\qquad t\ge 0.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): calculando a transformada de Laplace de f(t)=\dfrac{1}{3}(1-e^{-3t}) obtemos \mathscr{L}\{f(t)\}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+3}\right) =\frac{1}{3}\cdot\frac{(s+3)-s}{s(s+3)}=\frac{1}{s(s+3)},
que é exatamente F(s). Portanto a solução está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\bigl(1-e^{-3t}\bigr)

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