Nos Problemas 37-40, resolva o problema de valor d contorno dado.
$y^{\prime \prime}+3 y=6 x, \quad y(0)+y^{\prime}(0)=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de contorno
y''+3y=6x, \qquad y(0)+y'(0)=0, \qquad y(1)=0.
Informações dadas:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte 6x.
  • Condição de contorno mista em x=0: y(0)+y'(0)=0.
  • Condição de contorno em x=1: y(1)=0.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada
y''+3y=0.
Assumir y=e^{rx} dá a equação característica
r^2+3=0.
As raízes são
r=\pm i\sqrt{3}.
Portanto a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.
Explicação rápida: quando as raízes são puramente imaginárias \pm i\omega, as soluções reais são combinações de \cos(\omega x) e \sin(\omega x). Aqui \omega=\sqrt{3}.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y''+3y=6x.
O termo do lado direito é um polinômio de grau 1. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular da forma
y_p(x)=ax+b,
onde a e b são constantes a determinar.
Calcule as derivadas:
y_p'(x)=a,\qquad y_p''(x)=0.
Substituindo na equação:
0+3(ax+b)=6x.
Isto dá
3a x + 3b = 6x.
Comparando coeficientes de x e termos constantes obtemos
3a=6\quad\Rightarrow\quad a=2, \qquad 3b=0\quad\Rightarrow\quad b=0.
Logo
y_p(x)=2x.

Passo 4

A solução geral da equação não homogenéia é a soma
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+2x.

Passo 5

Vamos calcular y'(x) para poder aplicar a condição y(0)+y'(0)=0.
Diferenciando termo a termo:
y'(x)=-C_1\sqrt{3}\,\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_2\sqrt{3}\,\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+2.
Explicando: a derivada de \cos(\sqrt{3}x) é -\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}x) e da \sin(\sqrt{3}x) é \sqrt{3}\cos(\sqrt{3}x).

Passo 6

Aplicar a condição em x=0:
Calcule y(0) e y'(0):
y(0)=C_1\cos 0 + C_2\sin 0 + 0 = C_1,
y'(0)=-C_1\sqrt{3}\sin 0 + C_2\sqrt{3}\cos 0 + 2 = C_2\sqrt{3}+2.
A condição y(0)+y'(0)=0
C_1 + \bigl(C_2\sqrt{3}+2\bigr)=0.
Portanto a primeira equação para C_1,C_2 é
\boxed{\,C_1+\sqrt{3}\,C_2 = -2\,.}

Passo 7

Aplicar a condição em x=1:
y(1)=C_1\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)+2\cdot 1 =0.
Isso fornece a segunda equação
\boxed{\,C_1\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr) = -2\, .}

Passo 8

Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} C_1+\sqrt{3}\,C_2 = -2,\\[4pt] C_1\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr) = -2. \end{cases}
Usamos eliminação: da primeira equação temos
C_1=-2-\sqrt{3}\,C_2.
Substituindo na segunda:
\bigl(-2-\sqrt{3}\,C_2\bigr)\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)=-2.
Desenvolvendo:
-2\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sqrt{3}\,C_2\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)=-2.
Isolando os termos com C_2 e movendo o termo constante para o lado direito:
C_2\bigl(-\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr)= -2 + 2\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr).
Factorizando o lado direito:
-2 + 2\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)=2\bigl(\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-1\bigr)= -2\bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr).
Assim
C_2=\dfrac{2\bigl(\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-1\bigr)}{-\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 para ficar mais agradável:
\boxed{\,C_2=\dfrac{2\bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr)}{\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)}\,.}]

Passo 9

Agora achamos C_1 usando C_1=-2-\sqrt{3}\,C_2. Seja D=\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr). Substituindo C_2=\dfrac{2(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr))}{D} obtemos
C_1=-2-\sqrt{3}\cdot\dfrac{2\bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr)}{D} = \dfrac{-2D-2\sqrt{3}\bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr)}{D}.
Desenvolvendo -2D e simplificando (observe que os termos em \cos\bigl(\sqrt{3}\bigr) cancelam) temos
-2D-2\sqrt{3}\bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr) = -2\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)+2\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr) =2\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)-2\sqrt{3}.
Logo
\boxed{\,C_1=\dfrac{2\bigl(\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sqrt{3}\bigr)}{\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)}\,.}

Passo 10

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, a solução do problema de contorno é
y(x)=C_1\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+2x,
com C_1 e C_2 dados nas caixas acima. Podemos escrever de forma compacta, fatorando 2/D com D=\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr):
y(x)=\dfrac{2}{D}\Bigl[\bigl(\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sqrt{3}\bigr)\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+\bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr)\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)\Bigr]+2x.

Resposta

y(x)=\dfrac{2\bigl(\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sqrt{3}\bigr)}{\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)}\cos\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr) +\dfrac{2\bigl(1-\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)\bigr)}{\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\sin\bigl(\sqrt{3}\bigr)}\sin\bigl(\sqrt{3}\,x\bigr)+2x.

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