Nos Problemas 37-40, resolva o problema de valor d contorno dado.
$y^{\prime \prime}+3 y=6 x, \quad y(0)+y^{\prime}(0)=0, y(1)=0
$y^{\prime \prime}+3 y=6 x, \quad y(0)+y^{\prime}(0)=0, y(1)=0
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de contorno
Informações dadas:
- Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte
. - Condição de contorno mista em
: . - Condição de contorno em
: .
Passo 2
Primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada
Assumir
dá a equação característica
As raízes são
Portanto a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Explicação rápida: quando as raízes são puramente imaginárias
, as soluções reais são combinações de
e
. Aqui
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
O termo do lado direito é um polinômio de grau 1. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Calcule as derivadas:
Substituindo na equação:
Isto dá
Comparando coeficientes de
e termos constantes obtemos
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não homogenéia é a soma
Passo 5
Vamos calcular
para poder aplicar a condição
.
Diferenciando termo a termo:
Diferenciando termo a termo:
Explicando: a derivada de
é
e da
é
.
Passo 6
Aplicar a condição em
:
Calcule e
:
Calcule
A condição
dá
Portanto a primeira equação para
é
Passo 7
Aplicar a condição em
:
Isso fornece a segunda equação
Passo 8
Agora resolvemos o sistema linear
Usamos eliminação: da primeira equação temos
Substituindo na segunda:
Desenvolvendo:
Isolando os termos com
e movendo o termo constante para o lado direito:
Factorizando o lado direito:
Assim
Multiplicando numerador e denominador por
para ficar mais agradável:
Passo 9
Agora achamos
usando
. Seja
. Substituindo
obtemos
Desenvolvendo
e simplificando (observe que os termos em
cancelam) temos
Logo
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral, a solução do problema de contorno é
com
e
dados nas caixas acima. Podemos escrever de forma compacta, fatorando
com
: