Nos Problemas 27-36, resolva o problema de valor inicial dado. y^{\prime \prime \prime}+8 y=2 x-5+8 e^{-2 x}, \quad y(0)=-5, y^{\prime}(0)= y^{\prime \prime}(0)=-4
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Equação diferencial de terceira ordem não-homogênea:
y^{\prime\prime\prime}+8y=2x-5+8e^{-2x}.
Condições iniciais:
y(0)=-5,\qquad y'(0)=-4,\qquad y''(0)=-4.
O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro construímos a solução geral da equação associada homogênea:
y^{\prime\prime\prime}+8y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{3}+8=0.
Resolvendo r^{3}=-8. As raízes cúbicas de -8 são
r=-2,\qquad r=1\pm i\sqrt{3}.
Explicando rapidinho: -8=8e^{i\pi} e as raízes cúbicas têm módulo 2 e ângulos (\pi+2k\pi)/3, que geram r=-2 e r=1\pm i\sqrt{3}.
Como temos uma raiz real simples r=-2 e um par complexo conjugado 1\pm i\sqrt{3}, a solução geral da homogênea é (forma real):
Agora precisamos de uma particular y_{p} para a parte não-homogênea 2x-5+8e^{-2x}. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Para a parte polinomial 2x-5: tentamos um polinômio do mesmo grau, y_{p1}=ax+b. Explico: para um termo polinomial de grau n, um palpite razoável é um polinômio de grau n, porque derivadas de polinômios permanecem polinômios.
Substituindo y_{p1}=ax+b em y^{\prime\prime\prime}+8y: como a terceira derivada de um polinômio de grau 1 é zero, obtemos
8(ax+b)=2x-5.
Igualando coeficientes em x e constantes:
8a=2\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{4},
8b=-5\quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{5}{8}.
Logo
y_{p1}=\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}.
Passo 4
Para o termo 8e^{-2x}: normalmente tentaríamos Ae^{-2x}, mas atenção: e^{-2x} é solução da homogênea (corresponde a r=-2). Isso cria ressonância, então devemos multiplicar o palpite por x. Como a multiplicidade de r=-2 é 1, tomamos
y_{p2}=A x e^{-2x}.
Agora vamos calcular y_{p2}'''\!+\!8y_{p2} para determinar A.
Nota didática: observar que o termo \tfrac{2}{3}x e^{-2x} gerou uma dependência em x e^{-2x} que não pode ser absorvida pela constante multiplicadora de e^{-2x} da solução homogênea; por isso é consistente ter tanto C_{1}e^{-2x} quanto um termo x e^{-2x}.
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1},C_{2},C_{3}.
Para isso precisamos de y, y' e y''. Já temos y. Vou calcular y' e y'' e avaliar em x=0.