Nos Problemas 27-36, resolva o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime \prime}+8 y=2 x-5+8 e^{-2 x}, \quad y(0)=-5, y^{\prime}(0)= y^{\prime \prime}(0)=-4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial de terceira ordem não-homogênea:
y^{\prime\prime\prime}+8y=2x-5+8e^{-2x}.
  • Condições iniciais:
y(0)=-5,\qquad y'(0)=-4,\qquad y''(0)=-4.
O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro construímos a solução geral da equação associada homogênea:
y^{\prime\prime\prime}+8y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{3}+8=0.
Resolvendo r^{3}=-8. As raízes cúbicas de -8 são
r=-2,\qquad r=1\pm i\sqrt{3}.
Explicando rapidinho: -8=8e^{i\pi} e as raízes cúbicas têm módulo 2 e ângulos (\pi+2k\pi)/3, que geram r=-2 e r=1\pm i\sqrt{3}.
Como temos uma raiz real simples r=-2 e um par complexo conjugado 1\pm i\sqrt{3}, a solução geral da homogênea é (forma real):
y_{h}(x)=C_{1}e^{-2x}+e^{x}\big(C_{2}\cos(\sqrt{3}x)+C_{3}\sin(\sqrt{3}x)\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes.

Passo 3

Agora precisamos de uma particular y_{p} para a parte não-homogênea 2x-5+8e^{-2x}. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
  • Para a parte polinomial 2x-5: tentamos um polinômio do mesmo grau, y_{p1}=ax+b. Explico: para um termo polinomial de grau n, um palpite razoável é um polinômio de grau n, porque derivadas de polinômios permanecem polinômios.
Substituindo y_{p1}=ax+b em y^{\prime\prime\prime}+8y: como a terceira derivada de um polinômio de grau 1 é zero, obtemos
8(ax+b)=2x-5.
Igualando coeficientes em x e constantes:
8a=2\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{4},
8b=-5\quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{5}{8}.
Logo
y_{p1}=\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}.

Passo 4

  • Para o termo 8e^{-2x}: normalmente tentaríamos Ae^{-2x}, mas atenção: e^{-2x} é solução da homogênea (corresponde a r=-2). Isso cria ressonância, então devemos multiplicar o palpite por x. Como a multiplicidade de r=-2 é 1, tomamos
y_{p2}=A x e^{-2x}.
Agora vamos calcular y_{p2}'''\!+\!8y_{p2} para determinar A.
Calculemos derivadas de y_{p2}=A x e^{-2x}:
y_{p2}'=A e^{-2x}(1-2x),
y_{p2}''=4A e^{-2x}(x-1),
y_{p2}'''=4A e^{-2x}(-2x+3).
Portanto
y_{p2}'''+8y_{p2}=4A e^{-2x}(-2x+3)+8A x e^{-2x}.
Colocando em evidência A e^{-2x}:
y_{p2}'''+8y_{p2}=A e^{-2x}\big(4(-2x+3)+8x\big)=A e^{-2x}( -8x+12+8x)=12A e^{-2x}.
Queremos que isso iguale ao termo 8e^{-2x} do lado direito, logo
12A e^{-2x}=8 e^{-2x}\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{8}{12}=\tfrac{2}{3}.
Assim
y_{p2}=\tfrac{2}{3}x e^{-2x}.

Passo 5

A solução particular total é a soma das partes:
y_{p}(x)=y_{p1}+y_{p2}=\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}+\tfrac{2}{3}x e^{-2x}.
Portanto a solução geral da equação é
y(x)=C_{1}e^{-2x}+e^{x}\big(C_{2}\cos(\sqrt{3}x)+C_{3}\sin(\sqrt{3}x)\big)+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}+\tfrac{2}{3}x e^{-2x}.
Nota didática: observar que o termo \tfrac{2}{3}x e^{-2x} gerou uma dependência em x e^{-2x} que não pode ser absorvida pela constante multiplicadora de e^{-2x} da solução homogênea; por isso é consistente ter tanto C_{1}e^{-2x} quanto um termo x e^{-2x}.

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1},C_{2},C_{3}.
Para isso precisamos de y, y' e y''. Já temos y. Vou calcular y' e y'' e avaliar em x=0.
Reescrevendo y para derivar com clareza:
y=C_{1}e^{-2x}+e^{x}\big(C_{2}\cos(\sqrt{3}x)+C_{3}\sin(\sqrt{3}x)\big)+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}+\tfrac{2}{3}x e^{-2x}.
Derivando termo a termo (mostrando os passos principais):
  1. \dfrac{d}{dx}\big(C_{1}e^{-2x}\big)=-2C_{1}e^{-2x}.
  2. Para y_{h2}=e^{x}\big(C_{2}\cos(\sqrt{3}x)+C_{3}\sin(\sqrt{3}x)\big), usar produto e derivadas das funções trigonométricas:
y_{h2}'=e^{x}\big(C_{2}(\cos(\sqrt{3}x)-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}x))+C_{3}(\sin(\sqrt{3}x)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}x))\big).
  1. Derivada de \tfrac{1}{4}x é \tfrac{1}{4}.
  2. Para \tfrac{2}{3}x e^{-2x}, já calculamos antes em parte:
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{2}{3}x e^{-2x}\right)=\tfrac{2}{3}e^{-2x}(1-2x).
Somando:
y'(x)=-2C_{1}e^{-2x}+e^{x}\big(\cdots\big)+\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{3}e^{-2x}(1-2x),
onde \big(\cdots\big) é a expressão entre parênteses do item (2).
Avaliar em x=0 (usando \cos0=1,\\ \sin0=0,\\ e^{0}=1, e e^{-2\cdot0}=1):
y'(0)=-2C_{1}+C_{2}+\sqrt{3}C_{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{3}.
Somando \tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{11}{12}. Como y'(0)=-4, obtemos a equação
-2C_{1}+C_{2}+\sqrt{3}C_{3}+\tfrac{11}{12}=-4,
ou
-2C_{1}+C_{2}+\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{59}{12}.

Passo 7

Agora calculamos y''(x) e avaliamos em x=0.
Derivando y' componente a componente (resumindo resultados já obtidos anteriormente na construção das derivadas; mostro os valores em x=0):
  • Derivada de -2C_{1}e^{-2x} é 4C_{1}e^{-2x}, então em x=0 4C_{1}.
  • Para a parte y_{h2} (a parte com e^{x} e trigonometria), calculei duas derivações e obtive, depois de simplificar, em x=0:
y_{h2}''(0)=-2C_{2}+2\sqrt{3}C_{3}.
(Detalhe rápido: a conta usa produto e regra da cadeia para \cos(\sqrt{3}x),\sin(\sqrt{3}x); o resultado final é a combinação acima.)
  • Derivada da constante \tfrac{1}{4} é zero.
  • Derivada de \tfrac{2}{3}e^{-2x}(1-2x) é \tfrac{8}{3}e^{-2x}(x-1), que em x=0 vale -\tfrac{8}{3}.
Somando os termos em x=0:
y''(0)=4C_{1}+(-2C_{2}+2\sqrt{3}C_{3})-\tfrac{8}{3}.
Dada a condição y''(0)=-4, obtemos
4C_{1}-2C_{2}+2\sqrt{3}C_{3}-\tfrac{8}{3}=-4,
ou
4C_{1}-2C_{2}+2\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{4}{3}.

Passo 8

Também usamos a condição y(0)=-5. Avaliando y(0) na forma geral:
y(0)=C_{1}+C_{2}-\tfrac{5}{8}=-5.
Assim
C_{1}+C_{2}=-5+\tfrac{5}{8}=-\tfrac{35}{8}.
Agora temos um sistema linear de três equações para C_{1},C_{2},C_{3}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=-\tfrac{35}{8},\\[4pt] -2C_{1}+C_{2}+\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{59}{12},\\[4pt] 4C_{1}-2C_{2}+2\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{4}{3}. \end{cases}]

Passo 9

Resolvendo o sistema. Da primeira equação expressamos C_{2}=-\tfrac{35}{8}-C_{1} e substituímos nas outras duas.
Substituição na segunda equação:
-2C_{1}+(-\tfrac{35}{8}-C_{1})+\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{59}{12},
que simplifica para
-3C_{1}-\tfrac{35}{8}+\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{59}{12}.
Multiplicando por 24 para facilitar:
-72C_{1}-105+24\sqrt{3}C_{3}=-118,
ou seja
-72C_{1}+24\sqrt{3}C_{3}=-13. \quad (1)
Substituição na terceira equação:
4C_{1}-2(-\tfrac{35}{8}-C_{1})+2\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{4}{3},
que dá
4C_{1}+\tfrac{70}{8}+2C_{1}+2\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{4}{3},
ou
6C_{1}+\tfrac{35}{4}+2\sqrt{3}C_{3}=-\tfrac{4}{3}.
Multiplicando por 12:
72C_{1}+105+24\sqrt{3}C_{3}=-16,
ou
72C_{1}+24\sqrt{3}C_{3}=-121. \quad (2)
Agora somamos as equações (1) e (2):
(-72C_{1}+24\sqrt{3}C_{3})+(72C_{1}+24\sqrt{3}C_{3})=-13-121,
resultando em
48\sqrt{3}C_{3}=-134.
Assim
C_{3}=-\frac{134}{48\sqrt{3}}=-\frac{67}{24\sqrt{3}}=-\frac{67\sqrt{3}}{72}.
Substituindo C_{3} em (2):
72C_{1}+24\sqrt{3}\!\left(-\frac{67}{24\sqrt{3}}\right)=-121
72C_{1}-67=-121
72C_{1}=-54\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\tfrac{54}{72}=-\tfrac{3}{4}.
Finalmente C_{2}= -\tfrac{35}{8}-C_{1}=-\tfrac{35}{8}+\tfrac{3}{4}=-\tfrac{35}{8}+\tfrac{6}{8}=-\tfrac{29}{8}.
Resumo das constantes:
C_{1}=-\tfrac{3}{4},\qquad C_{2}=-\tfrac{29}{8},\qquad C_{3}=-\tfrac{67\sqrt{3}}{72}.

Passo 10

Escrevendo a solução completa com as constantes encontradas:
y(x)=-\tfrac{3}{4}e^{-2x}+e^{x}\Big(-\tfrac{29}{8}\cos(\sqrt{3}x)-\tfrac{67\sqrt{3}}{72}\sin(\sqrt{3}x)\Big)+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}+\tfrac{2}{3}x e^{-2x}.
Opcionalmente podemos agrupar os termos em e^{-2x}:
y(x)=e^{-2x}\Big(-\tfrac{3}{4}+\tfrac{2}{3}x\Big)+e^{x}\Big(-\tfrac{29}{8}\cos(\sqrt{3}x)-\tfrac{67\sqrt{3}}{72}\sin(\sqrt{3}x)\Big)+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}.
Verificação rápida (mentally): com essas constantes as condições iniciais y(0)=-5,\\ y'(0)=-4,\\ y''(0)=-4 são satisfeitas (pode conferir substituindo x=0).

Resposta

y(x)=-\tfrac{3}{4}e^{-2x}+e^{x}\Big(-\tfrac{29}{8}\cos(\sqrt{3}x)-\tfrac{67\sqrt{3}}{72}\sin(\sqrt{3}x)\Big)+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{5}{8}+\tfrac{2}{3}x e^{-2x}.

Exercícios relacionados