Nos problemas 41 a 50 , ache dy/dx com o emprego da diferenciação implícita.
x^4 y+raizx y=5

Passo 1

A equação dada é usando diferenciação implícita. Para isso, vamos aplicar a regra do produto para o termo x^4y + raizxy = 5 Queremos encontrar (dy/dx e a regra da cadeia para o termo x^4y.

Passo 2

Para derivar o termo x^4y, usamos a regra do produto: derivada de x^4 vezes y, mais x^4 vezes derivada de y. Assim obtemos
ddx(x^4y) = 4x^3y + x^4y'

Passo 3

Para derivar raizxy = (xy)^1/2, aplicamos a regra da cadeia: derivada de u^1/2 é tfrac12u^-1/2 vezes u', onde u=xy. Além disso, derivada de xy usa a regra do produto e é x y' + y. Logo:
ddxraizxy = 12(xy)^-1/2,(x y' + y) = 12raizxy,(x y' + y)

Passo 4

O lado direito da equação é constante (5), então sua derivada é zero. Somando as derivadas e igualando a zero, temos:
4x^3y + x^4y' + 12raizxy,(x y' + y) = 0

Passo 5

Agora coletamos os termos que envolvem y' e isolamos y'. Os termos com y' são x^4y' e tfracx2raizxy,y'; os termos sem y' são 4x^3y e tfracy2raizxy. Assim:
y'l(x^4 + x2raizxyr) + l(4x^3y + y2raizxyr) = 0
Isolando y' obtemos
y' = -4x^3y + y2raizxyx^4 + x2raizxy
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por 2raizxy.

Resposta

y' = -8x^3yraizxy + y2x^4raizxy + x = -y,(8x^3raizxy + 1)x,(2x^3raizxy + 1)

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