Nos Problemas 47 e 48, encontre as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
. Não há condições iniciais, então a resposta deverá conter duas constantes arbitrárias. Não há outras informações fornecidas.
Passo 2
Vamos transformar a equação em seu polinômio característico (uma técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes). Assumindo uma solução do tipo
, os coeficientes satisfazem o polinômio
Aqui
é a incógnita (autovalor) que determina a forma exponencial das soluções.
Passo 3
Calculamos o discriminante desse polinômio para ver o tipo de raízes:
Como
, a equação característica tem uma raiz real dupla. A raiz é
Passo 4
Quando a raiz
é dupla (multiplicidade 2) para uma equação de segunda ordem, a solução geral tem a forma
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui
, então esperamos
Passo 5
Para convencer-se de que
é solução, calculemos derivadas e substituímos na equação:
Substituindo:
Logo
satisfaz a ODE.
Passo 6
Agora verifiquemos
:
Substituindo na equação:
Agrupando termos em
e constantes:
Portanto
também é solução.
Passo 7
Como
e
são duas soluções linearmente independentes (formam um conjunto fundamental) da equação homogênea de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear delas com constantes arbitrárias.