Nos Problemas 47 e 48, encontre as soluções gerais das equações diferenciais dadas.
y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y'' + 10y' + 25y = 0
e pede a solução geral y(x). Não há condições iniciais, então a resposta deverá conter duas constantes arbitrárias. Não há outras informações fornecidas.

Passo 2

Vamos transformar a equação em seu polinômio característico (uma técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes). Assumindo uma solução do tipo y=e^{rx}, os coeficientes satisfazem o polinômio
r^{2}+10r+25=0.
Aqui r é a incógnita (autovalor) que determina a forma exponencial das soluções.

Passo 3

Calculamos o discriminante desse polinômio para ver o tipo de raízes:
\Delta = 10^{2}-4\cdot1\cdot25 = 100-100 = 0.
Como \Delta=0, a equação característica tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{-10}{2\cdot1} = -5.

Passo 4

Quando a raiz r é dupla (multiplicidade 2) para uma equação de segunda ordem, a solução geral tem a forma
y(x)=C_{1}e^{rx}+C_{2}x e^{rx},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui r=-5, então esperamos
y(x)=C_{1}e^{-5x}+C_{2}x e^{-5x} = (C_{1}+C_{2}x)e^{-5x}.

Passo 5

Para convencer-se de que e^{-5x} é solução, calculemos derivadas e substituímos na equação:
y_{1}=e^{-5x},\qquad y_{1}'=-5e^{-5x},\qquad y_{1}''=25e^{-5x}.
Substituindo:
y_{1}''+10y_{1}'+25y_{1}=25e^{-5x}+10(-5e^{-5x})+25e^{-5x}=(25-50+25)e^{-5x}=0.
Logo y_{1}=e^{-5x} satisfaz a ODE.

Passo 6

Agora verifiquemos y_{2}=x e^{-5x}:
y_{2}=x e^{-5x},
y_{2}'=(1-5x)e^{-5x},
y_{2}''=(25x-10)e^{-5x}.
Substituindo na equação:
y_{2}''+10y_{2}'+25y_{2}=(25x-10)e^{-5x}+10(1-5x)e^{-5x}+25x e^{-5x}.
Agrupando termos em x e constantes:
\big(25x-50x+25x\big)e^{-5x}+\big(-10+10\big)e^{-5x}=0.
Portanto y_{2}=x e^{-5x} também é solução.

Passo 7

Como y_{1}=e^{-5x} e y_{2}=x e^{-5x} são duas soluções linearmente independentes (formam um conjunto fundamental) da equação homogênea de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear delas com constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-5x},\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}

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