Nos problemas abaixo, calcule o valor da integral imprópria ou mostre que a integral diverge.
integral-infty^-1 1x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral-infty^-1 1x^2,dx. O conteúdo envolve integrais impróprias em limites infinitos e a antiderivada de funções potência; vamos usar limites e propriedades básicas de integração.

Passo 2

Para lidar com o infinito, reescrevemos a integral como limite:
\nIsso transforma o problema em avaliar um integral definido e depois tomar o limite.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^-2. Como em geral integral x^n,dx = x^n+1/(n+1) para nneq -1, temos
\nLogo, avaliamos o integral definido entre nintegral x^-2,dx = x^-1-1 = -1x e R:

Passo 4

Agora tomamos o limite quando Rto -infty. Como 1/Rto 0 nesse limite, ficamos com
limRto -inftyl(1 + tfrac1Rr) = 1
Portanto, a integral converge.
Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é 1.

Resposta

1

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