Nos problemas abaixo, calcule o valor da integral imprópria ou mostre que a integral diverge.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolve integrais impróprias em limites infinitos e a antiderivada de funções potência; vamos usar limites e propriedades básicas de integração.
Passo 2
Para lidar com o infinito, reescrevemos a integral como limite:
\nIsso transforma o problema em avaliar um integral definido e depois tomar o limite.
Passo 3
Calculamos a antiderivada de
. Como em geral
para
, temos
\nLogo, avaliamos o integral definido entre
e
:
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. Como
nesse limite, ficamos com
Portanto, a integral converge.
Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor é 1.
Resposta
1