Nos problemas abaixo determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a equação é linear ou não-linear:
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x \frac{d y}{d x}+\left(\cos ^{2} x\right) y=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x\frac{d y}{d x}+\left(\cos^{2}x\right)y=x^{3}
O que é pedido:
  • Determinar a ordem da equação diferencial.
  • Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Informações relevantes fornecidas:
  • Aparecem derivadas de ordem até a terceira ( \frac{d^{3}y}{dx^{3}}), a derivada de primeira ordem ( \frac{dy}{dx}) e a função y.
  • Os coeficientes das derivadas são funções de x: existe um coeficiente x multiplicando \frac{dy}{dx} e um coeficiente \cos^{2}x multiplicando y.
  • O membro direito é x^{3}, que é função apenas de x.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada de y que aparece na equação.
  • Exemplo simples: se aparece \frac{d^{2}y}{dx^{2}} mas não aparece derivada de ordem maior, a ordem é 2.
Aplicando isso ao problema: a equação contém \frac{d^{3}y}{dx^{3}}, que é a derivada de maior ordem presente. Portanto a ordem é 3.

Passo 3

O que significa “linear” para uma equação diferencial?
  • Uma equação diferencial é linear em y se y e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e não são multiplicadas entre si nem submetidas a funções não-lineares (como \sin(y), y^{2}, (y')^{2}, y\cdot y', etc.).
  • A forma geral de uma equação linear de ordem n é
a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y = g(x),
onde a_{k}(x) e g(x) são funções dadas de x. Note que os a_{k}(x) podem depender de x (coeficientes variáveis) e isso ainda é linear.

Passo 4

Verificação termo a termo da equação dada:
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x\frac{d y}{d x}+\left(\cos^{2}x\right)y=x^{3}
  • O termo \frac{d^{3}y}{dx^{3}} aparece multiplicado por 1 (ou seja, coeficiente a_{3}(x)=1).
  • O termo \frac{dy}{dx} aparece multiplicado por x (coeficiente a_{1}(x)=x, que é função de x — permitido).
  • O termo y aparece multiplicado por \cos^{2}x (coeficiente a_{0}(x)=\cos^{2}x, também função de x).
  • O membro direito é x^{3}, função somente de x.
Não há termos como y^{2}, \sin(y), (y')^{2}, y\cdot y' ou qualquer outra combinação não-linear envolvendo y ou suas derivadas. Todos os termos que envolvem y ou derivadas aparecem em primeira potência e com coeficientes que são funções de x. Logo a equação é linear.
Observação extra útil (curtinha): por ter membro direito não nulo ( x^{3}), é uma equação linear não-homogênea; se o membro direito fosse 0 seria homogênea.

Passo 5

Resumo final (pré-resposta): concluímos que a equação é de ordem \,3 e que é linear (mais precisamente, uma equação linear de terceira ordem com coeficientes que dependem de x, e não-homogênea).

Resposta

\text{Ordem: }3
\text{Linearidade: linear (equação linear de 3ª ordem, com coeficientes dependentes de }x\text{; não-homogênea)}çãªãê

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