Nos problemas abaixo determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a equação é linear ou não-linear:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido:
- Determinar a ordem da equação diferencial.
- Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Informações relevantes fornecidas:
- Aparecem derivadas de ordem até a terceira (
), a derivada de primeira ordem ( ) e a função . - Os coeficientes das derivadas são funções de
: existe um coeficiente multiplicando e um coeficiente multiplicando . - O membro direito é
, que é função apenas de .
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada de
que aparece na equação. - Exemplo simples: se aparece
mas não aparece derivada de ordem maior, a ordem é .
Aplicando isso ao problema: a equação contém
, que é a derivada de maior ordem presente. Portanto a ordem é
.
Passo 3
O que significa “linear” para uma equação diferencial?
- Uma equação diferencial é linear em
se e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e não são multiplicadas entre si nem submetidas a funções não-lineares (como , , , , etc.). - A forma geral de uma equação linear de ordem
é
onde
e
são funções dadas de
. Note que os
podem depender de
(coeficientes variáveis) e isso ainda é linear.
Passo 4
Verificação termo a termo da equação dada:
- O termo
aparece multiplicado por (ou seja, coeficiente ). - O termo
aparece multiplicado por (coeficiente , que é função de — permitido). - O termo
aparece multiplicado por (coeficiente , também função de ). - O membro direito é
, função somente de .
Não há termos como
,
,
,
ou qualquer outra combinação não-linear envolvendo
ou suas derivadas. Todos os termos que envolvem
ou derivadas aparecem em primeira potência e com coeficientes que são funções de
. Logo a equação é linear.
Observação extra útil (curtinha): por ter membro direito não nulo (
), é uma equação linear não-homogênea; se o membro direito fosse
seria homogênea.
Passo 5
Resumo final (pré-resposta): concluímos que a equação é de ordem
e que é linear (mais precisamente, uma equação linear de terceira ordem com coeficientes que dependem de
, e não-homogênea).