Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto \nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário \vec{u}
z=7 x-3 y+4,\left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1), \vec{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} i+\frac{1}{2} j

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função escalar z=7x-3y+4.
  • O ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,1\right).
  • O vetor unitário \vec{u}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{i}+\dfrac{1}{2}\,\mathbf{j}.
O que é pedido:
(a) encontrar o gradiente \nabla z (expressão geral);
(b) calcular o valor do gradiente no ponto \nabla z\left(x_{0},y_{0}\right);
(c) calcular a derivada direcional D_{u}z em \left(x_{0},y_{0}\right) na direção de \vec{u}.

Passo 2

Conceito e fórmula do gradiente (passo didático):
O gradiente de uma função z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Ele aponta na direção de maior crescimento de z e tem componentes iguais às taxas de variação em cada coordenada. A definição é
\nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui usamos a notação em pares para as componentes do vetor (equivalente a combinar com \mathbf{i} e \mathbf{j}).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais da função dada (explicando cada termo):
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial x} trata-se de derivar z em relação a x mantendo y constante. Na função z=7x-3y+4, o termo dependente de x é 7x, cuja derivada em relação a x é 7. Os outros termos -3y e 4 são constantes em relação a x, então suas derivadas são 0. Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=7.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y} derivamos em relação a y mantendo x fixo. O termo dependente de y é -3y, cuja derivada em relação a y é -3. Os termos 7x e 4 são constantes em relação a y. Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=-3.
Portanto o gradiente geral é
\nabla z(x,y)=\langle 7,\,-3\rangle.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,1\right):
Como \nabla z(x,y) é constante (não depende de x nem de y) para esta função linear, o valor no ponto é o mesmo:
\nabla z(1,1)=\langle 7,\,-3\rangle.

Passo 5

Conceito e fórmula da derivada direcional (didática):
A derivada direcional de z em \left(x_{0},y_{0}\right) na direção do vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de z quando nos movemos nessa direção. A fórmula simples e prática é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
D_{\mathbf{u}}z(x_{0},y_{0})=\nabla z(x_{0},y_{0})\cdot \mathbf{u}.
Antes de usar essa fórmula, confirma-se que \mathbf{u} é unitário (norma 1). Calcular a norma de \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1,
portanto \mathbf{u} é realmente unitário.

Passo 6

Calcular o produto escalar para obter a derivada direcional:
Usando \nabla z(1,1)=\langle 7,-3\rangle e \mathbf{u}=\left\langle \dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right\rangle,
D_{\mathbf{u}}z(1,1)=\langle 7,-3\rangle\cdot\left\langle \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right\rangle =7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+(-3)\cdot\frac{1}{2}.
Simplificando:
D_{\mathbf{u}}z(1,1)=\frac{7\sqrt{3}-3}{2}.
(se desejar uma aproximação numérica, \sqrt{3}\approx1{,}732, então D_{\mathbf{u}}z(1,1)\approx\frac{7\cdot1{,}732-3}{2}\approx\frac{12{,}124-3}{2}\approx4{,}562, mas a forma exata é preferível em provas.)

Resposta

(a) \nabla z=\langle 7,\,-3\rangle
(b) \nabla z(1,1)=\langle 7,\,-3\rangle
(c) D_{u}z(1,1)=\dfrac{7\sqrt{3}-3}{2}

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