Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
a) Se \frac{\sin (y-x)}{z^{2}}=\frac{\cos (x+y)}{w^{2}-3}, ache \frac{\partial y}{\partial x} e \frac{\partial y}{\partial z}, quando x=\frac{\pi}{4}, z=1, y=\frac{\pi}{4} e w=-1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}=\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3},
e pede para encontrar as derivadas parciais \dfrac{\partial y}{\partial x} e \dfrac{\partial y}{\partial z} quando
x=\frac{\pi}{4},\qquad z=1,\qquad y=\frac{\pi}{4},\qquad w=-1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • y é função diferenciável das demais variáveis (logo podemos diferenciar implicitamente).
  • As variáveis x e z são as que iremos variar para obter \dfrac{\partial y}{\partial x} e \dfrac{\partial y}{\partial z}; ao diferenciar em relação a x trata-se z e w como constantes; ao diferenciar em relação a z trata-se x e w como constantes.
  • Valores numéricos que vamos usar no final: x=\pi/4, y=\pi/4, z=1, w=-1.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação para evitar frações: multiplicando em cruz obtemos
(w^{2}-3)\sin(y-x)=z^{2}\cos(x+y).
Essa forma é mais fácil para aplicar a diferenciação implícita porque não temos quocientes explícitos.

Passo 3

Vou calcular \dfrac{\partial y}{\partial x}. Notação: escrevo \,y_x:=\dfrac{\partial y}{\partial x}.
Regra que usamos (explicação didática):
  • Regra da cadeia: se u=v(t), então \dfrac{d}{dt}\sin(u)=\cos(u)\,u'. Aqui u=y-x depende de x porque y depende de x.
  • Produto por constante: w e z são tratados como constantes quando apropriado.
Derivando a igualdade (w^{2}-3)\sin(y-x)=z^{2}\cos(x+y) em relação a x, lembrando que w e z são constantes:
  • Lado esquerdo: (w^{2}-3) é constante multiplicando \sin(y-x). Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\big[(w^{2}-3)\sin(y-x)\big]=(w^{2}-3)\cos(y-x)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(y-x).
E \dfrac{\partial}{\partial x}(y-x)=y_x-1 (porque \partial y/\partial x = y_x e \partial(-x)/\partial x=-1).
  • Lado direito: z^{2} é constante, e por cadeia
\frac{\partial}{\partial x}\big[z^{2}\cos(x+y)\big]=z^{2}\big(-\sin(x+y)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)= -z^{2}\sin(x+y)\,(1+y_x).
Portanto a equação diferencial obtida é
(w^{2}-3)\cos(y-x)\,(y_x-1) = -z^{2}\sin(x+y)\,(1+y_x).

Passo 4

Agora resolvemos essa equação para y_x. Desenvolvendo ambos os lados:
(w^{2}-3)\cos(y-x)\,y_x - (w^{2}-3)\cos(y-x) = -z^{2}\sin(x+y) - z^{2}\sin(x+y)\,y_x.
Agrupando os termos que contêm y_x num lado:
\big[(w^{2}-3)\cos(y-x) + z^{2}\sin(x+y)\big]\,y_x = (w^{2}-3)\cos(y-x) - z^{2}\sin(x+y).
Logo a fórmula geral é
y_x = \frac{(w^{2}-3)\cos(y-x) - z^{2}\sin(x+y)}{(w^{2}-3)\cos(y-x) + z^{2}\sin(x+y)}.

Passo 5

Agora substituímos os valores dados para obter o valor numérico. Primeiro calculemos os termos trigonométricos com x=\pi/4 e y=\pi/4:
y-x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0\quad\Rightarrow\quad \cos(y-x)=\cos(0)=1,
x+y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin(x+y)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Também
z^{2}=1^{2}=1,\qquad w^{2}-3 = (-1)^{2}-3 = 1-3 = -2.
Substituindo na expressão de y_x:
y_x = \frac{(-2)\cdot 1 - 1\cdot 1}{(-2)\cdot 1 + 1\cdot 1} = \frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1}=3.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{\partial y}{\partial z}. Notação: escrevo y_z:=\dfrac{\partial y}{\partial z}.
Voltamos à equação simplificada
(w^{2}-3)\sin(y-x)=z^{2}\cos(x+y).
Diferenciamos agora em relação a z, tratando x e w como constantes:
  • Lado esquerdo: (w^{2}-3) é constante e \sin(y-x) depende de z apenas via y, então pela cadeia
\frac{\partial}{\partial z}\big[(w^{2}-3)\sin(y-x)\big]=(w^{2}-3)\cos(y-x)\,y_z.
  • Lado direito: produto de z^{2} (que depende de z) por \cos(x+y) (que depende de z via y). Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial z}\big[z^{2}\cos(x+y)\big]=2z\cos(x+y) + z^{2}\big(-\sin(x+y)\big)\,y_z.
Portanto obtemos
(w^{2}-3)\cos(y-x)\,y_z = 2z\cos(x+y) - z^{2}\sin(x+y)\,y_z.

Passo 7

Isolando y_z, somamos z^{2}\sin(x+y)\,y_z aos dois lados:
\big[(w^{2}-3)\cos(y-x) + z^{2}\sin(x+y)\big]\,y_z = 2z\cos(x+y).
Logo a fórmula geral é
y_z = \frac{2z\cos(x+y)}{(w^{2}-3)\cos(y-x) + z^{2}\sin(x+y)}.

Passo 8

Substituímos os valores numéricos. Já calculamos antes: \cos(y-x)=1, \sin(x+y)=1, z=1, w^{2}-3=-2. Além disso \cos(x+y)=\cos(\pi/2)=0. Então
\text{numerador }=2z\cos(x+y)=2\cdot1\cdot 0 = 0,
e o denominador é o mesmo que apareceu antes: (-2)\cdot 1 + 1\cdot 1 = -1. Assim
y_z = \frac{0}{-1}=0.

Resposta

\dfrac{\partial y}{\partial x}=3
\dfrac{\partial y}{\partial z}=0

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