Considere que
seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
a) Se
, ache
e
, quando
e
a) Se
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para encontrar as derivadas parciais
e
quando
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é função diferenciável das demais variáveis (logo podemos diferenciar implicitamente). - As variáveis
e são as que iremos variar para obter e ; ao diferenciar em relação a trata-se e como constantes; ao diferenciar em relação a trata-se e como constantes. - Valores numéricos que vamos usar no final:
, , , .
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação para evitar frações: multiplicando em cruz obtemos
Essa forma é mais fácil para aplicar a diferenciação implícita porque não temos quocientes explícitos.
Passo 3
Vou calcular
. Notação: escrevo
.
Regra que usamos (explicação didática):
- Regra da cadeia: se
, então . Aqui depende de porque depende de . - Produto por constante:
e são tratados como constantes quando apropriado.
Derivando a igualdade
em relação a
, lembrando que
e
são constantes:
- Lado esquerdo:
é constante multiplicando . Pela cadeia,
E
(porque
e
).
- Lado direito:
é constante, e por cadeia
Portanto a equação diferencial obtida é
Passo 4
Agora resolvemos essa equação para
. Desenvolvendo ambos os lados:
Agrupando os termos que contêm
num lado:
Logo a fórmula geral é
Passo 5
Agora substituímos os valores dados para obter o valor numérico. Primeiro calculemos os termos trigonométricos com
e
:
Também
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Agora calculamos
. Notação: escrevo
.
Voltamos à equação simplificada
Diferenciamos agora em relação a
, tratando
e
como constantes:
- Lado esquerdo:
é constante e depende de apenas via , então pela cadeia
- Lado direito: produto de
(que depende de ) por (que depende de via ). Aplicando a regra do produto:
Portanto obtemos
Passo 7
Isolando
, somamos
aos dois lados:
Logo a fórmula geral é
Passo 8
Substituímos os valores numéricos. Já calculamos antes:
,
,
,
. Além disso
. Então
e o denominador é o mesmo que apareceu antes:
. Assim