Considere que
seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
a) Se
, ache
e
, quando
e
.
a) Se
Passo 1
O enunciado pede que se encontre as derivadas parciais
e
quando as variáveis têm os valores dados. A equação implícita dada é
As informações fornecidas são:
- A função implícita
é diferenciável em função de e . - Valores no ponto onde queremos as derivadas:
, , .
Passo 2
Ideia geral (cadeia/derivação implícita): defina
Como
para os valores considerados e
, ao derivar parcialmente em relação a
(mantendo
constante) aplica-se a regra da cadeia:
Isolando
obtém-se a fórmula padrão
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. De modo análogo, derivando parcialmente em relação a
(mantendo
fixo):
Explicando rápido os símbolos:
,
,
. Agora calculamos essas derivadas parciais de
.
Passo 3
Calcular
,
e
simbolicamente. Para facilitar, escrevemos
.
Derivando termo a termo:
-
Para
: Somando: -
Para
: Somando: -
Para
: Somando:]
Passo 4
Avaliar
,
,
no ponto
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Passo 5
Usar as fórmulas
e
com os valores calculados.
Cálculo de
:
Cálculo de
: