Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
a) Se x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0, ache \frac{\partial y}{\partial x} e \frac{\partial y}{\partial z}, quando x=1, z=-1 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre as derivadas parciais \dfrac{\partial y}{\partial x} e \dfrac{\partial y}{\partial z} quando as variáveis têm os valores dados. A equação implícita dada é
x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0.
As informações fornecidas são:
  • A função implícita y é diferenciável em função de x e z.
  • Valores no ponto onde queremos as derivadas: x=1, y=2, z=-1.

Passo 2

Ideia geral (cadeia/derivação implícita): defina
F(x,y,z)=x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}.
Como F(x,y,z)=0 para os valores considerados e y=y(x,z), ao derivar parcialmente em relação a x (mantendo z constante) aplica-se a regra da cadeia:
\frac{\partial F}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=0.
Isolando \dfrac{\partial y}{\partial x} obtém-se a fórmula padrão
\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_y},
onde F_x e F_y são as derivadas parciais de F em relação a x e y. De modo análogo, derivando parcialmente em relação a z (mantendo x fixo):
\frac{\partial F}{\partial z}+ \frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial z}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial z}=-\frac{F_z}{F_y}.
Explicando rápido os símbolos: F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}, F_y=\dfrac{\partial F}{\partial y}, F_z=\dfrac{\partial F}{\partial z}. Agora calculamos essas derivadas parciais de F.

Passo 3

Calcular F_x, F_y e F_z simbolicamente. Para facilitar, escrevemos \dfrac{2 x z}{y}=2 x z\,y^{-1}.
Derivando termo a termo:
  • Para F_x:
    \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{2} z\big)&=y^{2} z,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\big(-3 x^{2} y z\big)&=-6 x y z,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)&=\frac{2 z}{y},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial x}\big(-z^{2}\big)&=0. \end{aligned}
    Somando:
    F_x = y^{2} z - 6 x y z + \frac{2 z}{y}.
  • Para F_y:
    \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2} z\big)&=2 x y z,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\big(-3 x^{2} y z\big)&=-3 x^{2} z,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)&=-\frac{2 x z}{y^{2}},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial y}\big(-z^{2}\big)&=0. \end{aligned}
    Somando:
    F_y = 2 x y z - 3 x^{2} z - \frac{2 x z}{y^{2}}.
  • Para F_z:
    \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial z}\big(x y^{2} z\big)&=x y^{2},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial z}\big(-3 x^{2} y z\big)&=-3 x^{2} y,\\[4pt] \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)&=\frac{2 x}{y},\\[4pt] \frac{\partial}{\partial z}\big(-z^{2}\big)&=-2 z. \end{aligned}
    Somando:
    F_z = x y^{2} - 3 x^{2} y + \frac{2 x}{y} - 2 z.]

Passo 4

Avaliar F_x, F_y, F_z no ponto (x,y,z)=(1,2,-1).
Calcule F_x(1,2,-1):
\begin{aligned} F_x&=y^{2} z - 6 x y z + \frac{2 z}{y}\\[4pt] &=4\cdot(-1)-6\cdot1\cdot2\cdot(-1)+\frac{2\cdot(-1)}{2}\\[4pt] &=-4 + 12 -1 = 7. \end{aligned}
Calcule F_y(1,2,-1):
\begin{aligned} F_y&=2 x y z - 3 x^{2} z - \frac{2 x z}{y^{2}}\\[4pt] &=2\cdot1\cdot2\cdot(-1)-3\cdot1^{2}\cdot(-1)-\frac{2\cdot1\cdot(-1)}{2^{2}}\\[4pt] &=-4 + 3 + \frac{2}{4} = -4 + 3 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}. \end{aligned}
Calcule F_z(1,2,-1):
\begin{aligned} F_z&=x y^{2} - 3 x^{2} y + \frac{2 x}{y} - 2 z\\[4pt] &=1\cdot4 - 3\cdot1\cdot2 + \frac{2\cdot1}{2} - 2\cdot(-1)\\[4pt] &=4 -6 +1 +2 =1. \end{aligned}]

Passo 5

Usar as fórmulas \dfrac{\partial y}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_y} e \dfrac{\partial y}{\partial z}=-\dfrac{F_z}{F_y} com os valores calculados.
Cálculo de \dfrac{\partial y}{\partial x}:
\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{7}{-\tfrac{1}{2}}=\frac{7}{\tfrac{1}{2}}=7\cdot2=14.
Cálculo de \dfrac{\partial y}{\partial z}:
\frac{\partial y}{\partial z}=-\frac{F_z}{F_y}=-\frac{1}{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=14
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial z}=2

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