Nos problemas abaixo, encontre F(s) ou f(t), como indicado.
\mathcal{L}\left\{\frac{2 s+5}{s^{2}+6 s+34}\right\}

Passo 1

No enunciado, precisamos encontrar a função f(t) cuja transformada de Laplace satisfaz
\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{2s+5}{s^2+6s+34}.
O conteúdo principal é a Transformada Inversa de Laplace, usando completar o quadrado no denominador e decompor o numerador para identificar termos de cosseno e seno com fator exponencial.

Passo 2

Complete o quadrado em s^2+6s+34:
s^2+6s+34 \;=\;(s+3)^2 +25.
Defina u = s+3; assim o denominador fica u^2+25.

Passo 3

Reescreva o numerador 2s+5 em função de u:
2s+5 = 2(u-3)+5 = 2u -6 +5 = 2u -1.
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\frac{2s+5}{s^2+6s+34} = \frac{2u -1}{u^2+25} = \frac{2u}{u^2+25}\;-\;\frac{1}{u^2+25}.

Passo 4

Reconheça as transformadas (com u=s+3):
\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos(5t)\} = \frac{u}{u^2+5^2}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-3t}\sin(5t)\} = \frac{5}{u^2+5^2}.
Portanto
\frac{2u}{u^2+25} = 2\,\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos(5t)\}, \quad \frac{1}{u^2+25} = \frac{1}{5}\,\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin(5t)\}.

Passo 5

Aplique a transformada inversa a cada parcela:
f(t) = 2\,e^{-3t}\cos(5t) \;-\;\frac{1}{5}\,e^{-3t}\sin(5t).

Resposta

f(t) = e^{-3t}\!\Bigl(2\cos(5t) - \tfrac{1}{5}\sin(5t))

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