Calcule a transformada de Laplace das respectivas funções
f(t)= \begin{cases}-1, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} -1,&0\le t<1,\\\\ 1,&t\ge1. \end{cases}
O conteúdo envolve representação de funções em pedaços usando a função degrau (Heaviside) e aplicação da definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t
junto com linearidade e o teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Reescrevemos f(t) em termos da função degrau u(t-1). Note que antes de t=1 o valor é -1 e depois salta para 1, ou seja, acrescenta 2 a partir de t=1. Assim
f(t)=-1 + 2\,u(t-1).

Passo 3

Usando a linearidade da transformada de Laplace, temos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\mathcal{L}\{-1\}(s) + 2\,\mathcal{L}\{u(t-1)\}(s).

Passo 4

Calculamos cada parcela: \mathcal{L}\{-1\}(s) é
-\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,\mathrm{d}t =-\frac{1}{s}.
Pelo teorema de deslocamento no tempo,
\mathcal{L}\{u(t-1)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}u(t-1)\,\mathrm{d}t =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 5

Somando as parcelas,
\mathcal{L}\{f\}(s) =-\frac{1}{s}+2\cdot\frac{e^{-s}}{s} =\frac{-1 + 2e^{-s}}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{-1 + 2e^{-s}}{s}.

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