Calcule a transformada de Laplace das respectivas funções
f(t)= \begin{cases}\sin (t), & 0 \leq t<\pi \\\\ 0, & t \geq \pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
f(t)= \begin{cases} \sin(t),&0\le t<\pi,\\\\ 0,&t\ge\pi, \end{cases}
e pede sua transformada de Laplace, isto é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.
Como f(t)=0 para t\ge\pi, o integral se reduz a
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\pi}\sin(t)e^{-st}\,dt.

Passo 2

Vamos calcular o integral
I=\int_{0}^{\pi}e^{-st}\sin(t)\,dt.
Para isso, podemos usar o resultado padrão (obtido por partes):
\int e^{-st}\sin(t)\,dt =-\frac{e^{-st}\bigl(s\sin(t)+\cos(t)\bigr)}{s^{2}+1}.

Passo 3

Agora aplicamos os limites de 0 a \pi:
I=\left[-\frac{e^{-st}\bigl(s\sin(t)+\cos(t)\bigr)}{s^{2}+1}\right]_{0}^{\pi}.

Passo 4

Em t=\pi temos \sin(\pi)=0, \cos(\pi)=-1, logo
-\frac{e^{-s\pi}(s\cdot0+(-1))}{s^{2}+1} =\frac{e^{-s\pi}}{s^{2}+1}.
Em t=0 temos \sin(0)=0, \cos(0)=1, logo
-\frac{1\,(s\cdot0+1)}{s^{2}+1} =-\frac{1}{s^{2}+1}.
Portanto
I=\frac{e^{-s\pi}}{s^{2}+1}-\Bigl(-\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr) =\frac{e^{-s\pi}+1}{s^{2}+1}.

Passo 5

Concluímos que
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\pi}\sin(t)e^{-st}\,dt =\frac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1+e^{-s\pi}}{s^{2}+1}.

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