Nos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado (que interpreto como corretamente formulado) dá a seguinte condição inicial e pede a solução
:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- É uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Termo não-homogêneo é
. - Condições iniciais em
: e .
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explicando didaticamente): para resolver uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes do tipo
a técnica padrão é:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada
chamada
.
2. Encontrar uma solução particular da equação não-homogênea.
3. A solução geral da equação completa é .
4. Usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
2. Encontrar uma solução particular
3. A solução geral da equação completa é
4. Usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Por que escolhi esse método (undetermined coefficients)? Porque o termo não-homogêneo é
, que é uma função exponencial simples; para RHS exponenciais, polinomiais ou sen/cons, o método dos coeficientes a determinar é rápido e direto, desde que a forma proposta não coincida com soluções da homogênea (caso de ressonância). Vou explicar esse ponto quando for escolher
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo:
As raízes da equação característica são
Quando as raízes são puramente imaginárias
, a solução geral da homogênea é da forma
Aqui
. Portanto
Comentário didático: a razão disso é que
, e combinações lineares das soluções complexas geram as funções seno e cosseno reais.
Passo 4
Procurar uma solução particular
para
Pelo método dos coeficientes a determinar, quando o RHS é
tentamos
, onde
é constante a determinar. Aqui
, então tentamos
Antes de substituir, verificamos ressonância: se
fosse solução da homogênea, teríamos que multiplicar por
. Mas as raízes da característica são
, que correspondem a
, não a
. Então não há ressonância e a tentativa
é válida.
Calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Queremos que isso seja igual a
, logo
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro,
. Avaliando:
Como
, obtemos
Agora precisamos de
. Diferenciando
termo a termo:
- Derivada de
é (porque ). - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Avalie em
:
Como
, temos
Compute o lado direito em frações com denominador
:
Logo
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais:
Verificação rápida (didática): como
satisfaz
e
foi construído para satisfazer
, a soma satisfaz a equação completa. As condições iniciais já foram usadas para fixar
e
.