Nos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+4 y=t=3 e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado (que interpreto como corretamente formulado) dá a seguinte condição inicial e pede a solução y(t):
y'' + 4y = 3 e^{t},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • É uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Termo não-homogêneo é 3 e^{t}.
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=0 e y'(0)=2.
O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explicando didaticamente): para resolver uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes do tipo
y'' + a y' + b y = g(t),
a técnica padrão é:
  1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada
y'' + a y' + b y = 0,
chamada y_h(t).
2. Encontrar uma solução particular y_p(t) da equação não-homogênea.
3. A solução geral da equação completa é y(t)=y_h(t)+y_p(t).
4. Usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Por que escolhi esse método (undetermined coefficients)? Porque o termo não-homogêneo é 3 e^{t}, que é uma função exponencial simples; para RHS exponenciais, polinomiais ou sen/cons, o método dos coeficientes a determinar é rápido e direto, desde que a forma proposta não coincida com soluções da homogênea (caso de ressonância). Vou explicar esse ponto quando for escolher y_p.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y'' + 4y = 0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo:
r^2 e^{rt} + 4 e^{rt}=0 \quad\Rightarrow\quad r^2+4=0.
As raízes da equação característica são
r=\pm 2i.
Quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega i, a solução geral da homogênea é da forma
y_h(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t).
Aqui \omega=2. Portanto
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t).
Comentário didático: a razão disso é que e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t), e combinações lineares das soluções complexas geram as funções seno e cosseno reais.

Passo 4

Procurar uma solução particular y_p(t) para
y'' + 4y = 3 e^{t}.
Pelo método dos coeficientes a determinar, quando o RHS é k e^{\alpha t} tentamos y_p(t)=A e^{\alpha t}, onde A é constante a determinar. Aqui \alpha=1, então tentamos
y_p(t)=A e^{t}.
Antes de substituir, verificamos ressonância: se e^{t} fosse solução da homogênea, teríamos que multiplicar por t. Mas as raízes da característica são \pm 2i, que correspondem a e^{\pm 2 i t}, não a e^{t}. Então não há ressonância e a tentativa A e^{t} é válida.
Calculemos as derivadas:
y_p'(t)=A e^{t},\qquad y_p''(t)=A e^{t}.
Substituindo na equação:
y_p'' + 4 y_p = A e^{t} + 4A e^{t} = 5A e^{t}.
Queremos que isso seja igual a 3 e^{t}, logo
5A e^{t} = 3 e^{t}\quad\Rightarrow\quad 5A=3 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{3}{5}.
Portanto
y_p(t)=\tfrac{3}{5} e^{t}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\tfrac{3}{5} e^{t}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro, y(0)=0. Avaliando:
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)+\tfrac{3}{5} e^{0}=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + \tfrac{3}{5}\cdot 1 = C_1 + \tfrac{3}{5}.
Como y(0)=0, obtemos
C_1 + \tfrac{3}{5}=0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -\tfrac{3}{5}.
Agora precisamos de y'(t). Diferenciando y(t) termo a termo:
  • Derivada de C_1\cos(2t) é -2C_1\sin(2t) (porque \frac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t)).
  • Derivada de C_2\sin(2t) é 2C_2\cos(2t).
  • Derivada de \tfrac{3}{5} e^{t} é \tfrac{3}{5} e^{t}.
Portanto
y'(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac{3}{5} e^{t}.
Avalie em t=0:
y'(0) = -2C_1\sin(0) + 2C_2\cos(0) + \tfrac{3}{5} e^{0} = 0 + 2C_2\cdot 1 + \tfrac{3}{5}.
Como y'(0)=2, temos
2C_2 + \tfrac{3}{5} = 2 \quad\Rightarrow\quad 2C_2 = 2 - \tfrac{3}{5}.
Compute o lado direito em frações com denominador 5:
2 = \tfrac{10}{5},\quad \tfrac{10}{5}-\tfrac{3}{5}=\tfrac{7}{5}.
Logo
2C_2 = \tfrac{7}{5} \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{7}{10}.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais:
y(t) = -\tfrac{3}{5}\cos(2t) + \tfrac{7}{10}\sin(2t) + \tfrac{3}{5} e^{t}.
Verificação rápida (didática): como y_h satisfaz y_h''+4y_h=0 e y_p foi construído para satisfazer y_p''+4y_p=3e^{t}, a soma satisfaz a equação completa. As condições iniciais já foram usadas para fixar C_1 e C_2.

Resposta

y(t) = -\tfrac{3}{5}\cos(2t) + \tfrac{7}{10}\sin(2t) + \tfrac{3}{5} e^{t}.

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