Seja Q o plano de equação geral x+y+z=2, e \mathrm{p}=(2,2,1).
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto q \in Q mais próximo a p.
Assinale a soma das coordenadas de q.
Escolha uma opção:
\bigcirc 4
\bigcirc \frac{34}{7}
\bigcirc \frac{3}{7}
\bigcirc 2^{\checkmark}
\bigcirc \frac{14}{17}
\bigcirc -\frac{1}{3}
\bigcirc \frac{28}{9}
\bigcirc \frac{19}{7}
A resposta correta é: 2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: o plano Q tem equação geral x+y+z=2.
  • Dados: o ponto \mathrm{p}=(2,2,1).
  • Pedido: encontrar o ponto q\in Q que está mais próximo de \mathrm{p}.
  • Pedido final: assinalar a soma das coordenadas de q (ou seja, calcular x_q+y_q+z_q).
Essas são todas as informações relevantes que vamos usar.

Passo 2

Vamos transformar “ponto mais próximo” em um problema de otimização. Para medir distância eu usei a distância ao quadrado porque simplifica as contas (não altera o ponto minimizador): defino a função objetivo
f(x,y,z)=(x-2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2,
que é o quadrado da distância de (x,y,z) a \mathrm{p}=(2,2,1). A restrição de que o ponto deve pertencer ao plano Q escrevo como
g(x,y,z)=x+y+z-2=0.
Agora precisamos minimizar f sujeito a g=0.

Passo 3

Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia (explicação curta e prática) é: para um extremo de f com a restrição g=0, o gradiente de f deve ser paralelo ao gradiente de g. Formalmente, introduzimos um multiplicador \lambda e construímos a Lagrangiana
L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\,g(x,y,z).
As condições necessárias para um extremo são as equações
\frac{\partial L}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial L}{\partial \lambda}=0.
Vou calcular cada uma e resolver o sistema resultante. (Observação útil: f é estritamente convexa (soma de quadrados) e g é linear, então qualquer solução será o mínimo global único.)

Passo 4

Escrevo explicitamente L:
L(x,y,z,\lambda)=(x-2)^2+(y-2)^2+(z-1)^2+\lambda(x+y+z-2).
Agora calculo as derivadas parciais uma a uma e ponho igual a zero.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial L}{\partial x}=2(x-2)+\lambda=0.
Isto dá
2(x-2)=-\lambda\quad\Longrightarrow\quad x=2-\frac{\lambda}{2}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial L}{\partial y}=2(y-2)+\lambda=0,
que dá
y=2-\frac{\lambda}{2}.
Derivando em relação a z:
\frac{\partial L}{\partial z}=2(z-1)+\lambda=0,
que dá
z=1-\frac{\lambda}{2}.
Derivando em relação a \lambda recuperamos a restrição:
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y+z-2=0.

Passo 5

Agora substituo as expressões de x,y,z em função de \lambda na restrição para determinar \lambda. Somando:
x+y+z=\left(2-\frac{\lambda}{2}\right)+\left(2-\frac{\lambda}{2}\right)+\left(1-\frac{\lambda}{2}\right).
Isso simplifica para
x+y+z=5-\frac{3\lambda}{2}.
Pela restrição x+y+z=2 temos
5-\frac{3\lambda}{2}=2.
Isolando \lambda:
\frac{3\lambda}{2}=3\quad\Longrightarrow\quad \lambda=2.

Passo 6

Com \lambda=2 uso as fórmulas que achamos para x,y,z:
x=2-\frac{\lambda}{2}=2-1=1,
y=2-\frac{\lambda}{2}=1,
z=1-\frac{\lambda}{2}=1-1=0.
Logo o ponto minimizador é
q=(1,1,0).
Verificação rápida: 1+1+0=2, então q pertence ao plano Q. Como f é convexa, este é o mínimo global e, portanto, o ponto mais próximo de \mathrm{p}.

Passo 7

A pergunta final pede a soma das coordenadas de q. Calculamos:
1+1+0=2.

Resposta

2

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