Seja
o plano de equação geral
, e
.
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto
mais próximo a
.
Assinale a soma das coordenadas de
.
Escolha uma opção:
4
A resposta correta é: 2
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto
Assinale a soma das coordenadas de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados: o plano
tem equação geral . - Dados: o ponto
. - Pedido: encontrar o ponto
que está mais próximo de . - Pedido final: assinalar a soma das coordenadas de
(ou seja, calcular ).
Essas são todas as informações relevantes que vamos usar.
Passo 2
Vamos transformar “ponto mais próximo” em um problema de otimização. Para medir distância eu usei a distância ao quadrado porque simplifica as contas (não altera o ponto minimizador): defino a função objetivo
que é o quadrado da distância de
a
. A restrição de que o ponto deve pertencer ao plano
escrevo como
Agora precisamos minimizar
sujeito a
.
Passo 3
Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia (explicação curta e prática) é: para um extremo de
com a restrição
, o gradiente de
deve ser paralelo ao gradiente de
. Formalmente, introduzimos um multiplicador
e construímos a Lagrangiana
As condições necessárias para um extremo são as equações
Vou calcular cada uma e resolver o sistema resultante. (Observação útil:
é estritamente convexa (soma de quadrados) e
é linear, então qualquer solução será o mínimo global único.)
Passo 4
Escrevo explicitamente
:
Agora calculo as derivadas parciais uma a uma e ponho igual a zero.
Derivando em relação a
:
Isto dá
Derivando em relação a
:
que dá
Derivando em relação a
:
que dá
Derivando em relação a
recuperamos a restrição:
Passo 5
Agora substituo as expressões de
em função de
na restrição para determinar
. Somando:
Isso simplifica para
Pela restrição
temos
Isolando
:
Passo 6
Com
uso as fórmulas que achamos para
:
Logo o ponto minimizador é
Verificação rápida:
, então
pertence ao plano
. Como
é convexa, este é o mínimo global e, portanto, o ponto mais próximo de
.
Passo 7
A pergunta final pede a soma das coordenadas de
. Calculamos: