Seja Q o plano de equação geral 2 x-2 y+3 z=11, e \mathrm{p}=(2,1,-2).
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto q \in Q mais próximo a p.
Assinale a soma das coordenadas de q.
Escolha uma opção:
\bigcirc -4
\bigcirc -\frac{28}{17}
\bigcirc \frac{16}{3}
\bigcirc 0
\bigcirc \frac{62}{17}
\bigcirc \frac{52}{11}
\bigcirc \frac{5}{3}
\bigcirc \frac{44}{19}
A resposta correta é: \frac{62}{17}

Passo 1

O enunciado dá:
Q:\;2x-2y+3z=11
e o ponto
p=(2,1,-2).
O que se pede: encontrar o ponto q\in Q que está mais próximo de p e, especificamente, informar a soma das coordenadas de q.
Informações relevantes que usaremos:
\text{o equação do plano }Q:\;2x-2y+3z=11,çã
\text{o ponto }p:\; (2,1,-2).

Passo 2

Escolhemos minimizar a distância entre um ponto genérico (x,y,z) no plano Q e p. Em provas costuma ser mais prático minimizar o quadrado da distância (pois evita raízes) sem alterar o ponto minimizador. Definimos a função a minimizar:
f(x,y,z)=(x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2.
A restrição é a equação do plano, que escrevemos como
g(x,y,z)=2x-2y+3z-11=0.
Agora aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos um multiplicador \lambda e procuramos pontos críticos da função lagrangiana. Vou explicar: a ideia é que no ponto de mínimo com restrição a gradiente de f é colinear com o gradiente de g. O multiplicador \lambda mede essa colinearidade.

Passo 3

Construímos a lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\,g(x,y,z).
Escrevendo explicitamente:
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=(x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2+\lambda(2x-2y+3z-11).
As equações necessárias são as derivadas parciais nulas:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.
Agora calculamos cada derivada.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2(x-2)+\lambda\cdot 2=0
que simplifica para
2(x-2)+2\lambda=0\quad\Rightarrow\quad x-2+\lambda=0\quad\Rightarrow\quad x=2-\lambda.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2(y-1)+\lambda\cdot(-2)=0
que dá
2(y-1)-2\lambda=0\quad\Rightarrow\quad y-1-\lambda=0\quad\Rightarrow\quad y=1+\lambda.
Derivando em relação a z:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=2(z+2)+\lambda\cdot 3=0
que dá
2(z+2)+3\lambda=0\quad\Rightarrow\quad z+2+\frac{3}{2}\lambda=0\quad\Rightarrow\quad z=-2-\frac{3}{2}\lambda.
A última equação é a própria restrição:
2x-2y+3z-11=0.

Passo 5

Substituímos x,y,z em função de \lambda na restrição para encontrar \lambda.
Substituindo:
2(2-\lambda)-2(1+\lambda)+3\Big(-2-\frac{3}{2}\lambda\Big)=11.
Agora abro os parênteses passo a passo:
Primeiro termos constantes e coeficientes de \lambda:
2\cdot 2-2\lambda -2\cdot 1-2\lambda +3\cdot(-2)-3\cdot\frac{3}{2}\lambda=11.
Calculo constantes:
4-2-6=-4.
Calculo coeficiente de \lambda:
-2\lambda-2\lambda-\frac{9}{2}\lambda = -4\lambda-\frac{9}{2}\lambda = -\frac{8}{2}\lambda-\frac{9}{2}\lambda = -\frac{17}{2}\lambda.
Assim a equação fica
-4-\frac{17}{2}\lambda=11.
Isolando \lambda:
-\frac{17}{2}\lambda=11+4=15 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-\frac{2\cdot 15}{17}=-\frac{30}{17}.

Passo 6

Agora encontramos x,y,z usando \lambda=-\dfrac{30}{17}.
Para x:
x=2-\lambda=2-\Big(-\frac{30}{17}\Big)=2+\frac{30}{17}=\frac{34}{17}+\frac{30}{17}=\frac{64}{17}.
Para y:
y=1+\lambda=1-\frac{30}{17}=\frac{17}{17}-\frac{30}{17}=-\frac{13}{17}.
Para z:
z=-2-\frac{3}{2}\lambda=-2-\frac{3}{2}\Big(-\frac{30}{17}\Big)=-2+\frac{90}{34}.
Simplifico \dfrac{90}{34}=\dfrac{45}{17}, então
z=-2+\frac{45}{17}=-\frac{34}{17}+\frac{45}{17}=\frac{11}{17}.
Portanto o ponto encontrado é
q=\Big(\frac{64}{17},-\frac{13}{17},\frac{11}{17}\Big).
Como checagem rápida (opcional): podemos verificar que q satisfaz a equação do plano:
2\cdot\frac{64}{17}-2\cdot\Big(-\frac{13}{17}\Big)+3\cdot\frac{11}{17} =\frac{128}{17}+\frac{26}{17}+\frac{33}{17}=\frac{187}{17}=11,
ok.

Passo 7

Agora somamos as coordenadas de q:
\frac{64}{17}-\frac{13}{17}+\frac{11}{17}=\frac{64-13+11}{17}=\frac{62}{17}.

Resposta

\dfrac{62}{17}

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