Seja
o plano de equação geral
, e
.
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto
mais próximo a
.
Assinale a soma das coordenadas de
.
Escolha uma opção:
0
A resposta correta é:
Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, ache o ponto
Assinale a soma das coordenadas de
Passo 1
O enunciado dá:
e o ponto
O que se pede: encontrar o ponto
que está mais próximo de
e, especificamente, informar a soma das coordenadas de
.
Informações relevantes que usaremos:
Passo 2
Escolhemos minimizar a distância entre um ponto genérico
no plano
e
. Em provas costuma ser mais prático minimizar o quadrado da distância (pois evita raízes) sem alterar o ponto minimizador. Definimos a função a minimizar:
A restrição é a equação do plano, que escrevemos como
Agora aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange: introduzimos um multiplicador
e procuramos pontos críticos da função lagrangiana. Vou explicar: a ideia é que no ponto de mínimo com restrição a gradiente de
é colinear com o gradiente de
. O multiplicador
mede essa colinearidade.
Passo 3
Construímos a lagrangiana
Escrevendo explicitamente:
As equações necessárias são as derivadas parciais nulas:
Agora calculamos cada derivada.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero.
Derivando em relação a
:
que simplifica para
Derivando em relação a
:
que dá
Derivando em relação a
:
que dá
A última equação é a própria restrição:
Passo 5
Substituímos
em função de
na restrição para encontrar
.
Substituindo:
Agora abro os parênteses passo a passo:
Primeiro termos constantes e coeficientes de
:
Calculo constantes:
Calculo coeficiente de
:
Assim a equação fica
Isolando
:
Passo 6
Agora encontramos
usando
.
Para
:
Para
:
Para
:
Simplifico
, então
Portanto o ponto encontrado é
Como checagem rápida (opcional): podemos verificar que
satisfaz a equação do plano:
ok.
Passo 7
Agora somamos as coordenadas de
: