Nos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
6.2 y^{\prime \prime}+4 y=t-3 e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais. Em linguagem compacta, temos:
6{,}2\,y''(t)+4\,y(t)=t-3e^{t},
com
y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
O que precisamos encontrar é a função y(t) que satisfaça essa equação e as condições iniciais. Listando as informações relevantes:
\begin{aligned} &\text{Equação: }6{,}2\,y''+4y=t-3e^{t},\\\ &\text{Condições iniciais: }y(0)=0,\; y'(0)=2.\\\ &\text{RHS (termos forçantes): }t\quad\text{(polinomial de grau 1)}\quad\text{e}\quad -3e^{t}\quad\text{(exponencial).} \end{aligned}çãçõç

Passo 2

Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos a equação inteira por 5 (multiplicar ambos os lados por uma constante não altera as soluções):
5\cdot(6{,}2\,y''+4y)=5\cdot(t-3e^{t}).
Isso resulta em
31\,y''+20\,y=5t-15e^{t}.
A partir daqui vou resolver a equação equivalente
31\,y''+20\,y=5t-15e^{t}.

Passo 3

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com RHS nul0):
31\,y''+20\,y=0.
A técnica padrão é assumir uma solução da forma y=e^{rt}. Substituindo, obtemos a equação característica
31\,r^{2}+20=0.
Resolvendo para r:
r^{2}=-\frac{20}{31}\quad\Rightarrow\quad r=\pm i\sqrt{\frac{20}{31}}.
Como as raízes são puramente imaginárias, a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno:
y_{h}(t)=C_{1}\cos\!\left(\omega t\right)+C_{2}\sin\!\left(\omega t\right),
onde definimos
\omega=\sqrt{\frac{20}{31}}.
Explicando: C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias; \omega é a frequência angular que aparece por causa das raízes imaginárias da equação característica.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} para a equação não-homogênea. Pela linearidade, podemos somar soluções particulares dos termos forçantes separados. O método adequado aqui é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que diz: tentamos uma forma para y_{p} baseada no tipo do forçante (polinômio, exponencial, seno/cosseno etc.) e ajustamos coeficientes para satisfazer a EDO. Como o forçante é 5t-15e^{t}, vamos procurar
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t),
onde y_{p1} resolve a parte polinomial 5t e y_{p2} resolve a parte exponencial -15e^{t}.
Também verificamos ressonância: e^{t} não é solução da homogênea (a homogênea tem senos e cossenos), então não há necessidade de multiplicar a tentativa por t por causa de ressonância.

Passo 5

Encontrando y_{p1} para o termo polinomial 5t. Para um polinômio de grau 1 tentamos
y_{p1}(t)=At+B,
onde A,B são constantes a determinar. Calculamos derivadas:
y_{p1}''(t)=0.
Substituindo na EDO (a forma multiplicada por 5 que estamos usando):
31\cdot 0 +20(At+B)=5t.
Isso dá
20A\,t+20B=5t+0.
Igualando coeficientes de potências de t:
20A=5\quad\Rightarrow\quad A=\frac{5}{20}=\frac{1}{4},
20B=0\quad\Rightarrow\quad B=0.
Portanto
y_{p1}(t)=\frac{1}{4}t.

Passo 6

Agora y_{p2} para o termo -15e^{t}. Tentamos
y_{p2}(t)=C e^{t},
com C constante. Derivadas:
y_{p2}''(t)=C e^{t}.
Substituindo na EDO:
31(C e^{t})+20(C e^{t})= -15 e^{t}.
Ou seja,
(31+20)C\,e^{t}=51C\,e^{t}=-15e^{t}.
Cancelando e^{t} (não é zero), obtemos
51C=-15\quad\Rightarrow\quad C=-\frac{15}{51}=-\frac{5}{17}.
Assim
y_{p2}(t)=-\frac{5}{17}e^{t}.

Passo 7

Juntando as partes, a solução geral da equação não-homogênea é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p1}(t)+y_{p2}(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)+\frac{1}{4}t-\frac{5}{17}e^{t},
com \omega=\sqrt{\tfrac{20}{31}}.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Avaliando y(0):
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)+\frac{1}{4}\cdot 0 -\frac{5}{17}e^{0}=C_{1}-\frac{5}{17}.
Como y(0)=0, segue
C_{1}-\frac{5}{17}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{5}{17}.

Passo 9

Agora usamos y'(0)=2. Primeiro derivamos y(t). Lembre-se das derivadas:
\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t),\qquad \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t),\qquad \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t},\qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{4}t\right)=\frac{1}{4}.
Assim
y'(t)=-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t)+\frac{1}{4}-\frac{5}{17}e^{t}.
Avalia em t=0:
y'(0)=-C_{1}\omega\cdot 0 + C_{2}\omega\cdot 1 +\frac{1}{4}-\frac{5}{17}\cdot 1 = C_{2}\omega +\frac{1}{4}-\frac{5}{17}.
Impondo y'(0)=2:
C_{2}\omega +\frac{1}{4}-\frac{5}{17}=2.
Isolando C_{2}\omega:
C_{2}\omega = 2-\frac{1}{4}+\frac{5}{17}.
Calculando a combinação de constantes (colocando em denominador comum 68):
2-\frac{1}{4}+\frac{5}{17}=\frac{136-17+20}{68}=\frac{139}{68}.
Logo
C_{2}\omega=\frac{139}{68}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{139}{68\;\omega}.
Podemos também escrever 1/\omega=\sqrt{\tfrac{31}{20}}, então
C_{2}=\frac{139}{68}\sqrt{\frac{31}{20}}.

Passo 10

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(t)=\frac{5}{17}\cos\!\left(\sqrt{\tfrac{20}{31}}\,t\right) +\frac{139}{68}\sqrt{\frac{31}{20}}\;\sin\!\left(\sqrt{\tfrac{20}{31}}\,t\right) +\frac{1}{4}t-\frac{5}{17}e^{t}.

Resposta

y(t)=\frac{5}{17}\cos\!\left(\sqrt{\tfrac{20}{31}}\,t\right) +\frac{139}{68}\sqrt{\frac{31}{20}}\;\sin\!\left(\sqrt{\tfrac{20}{31}}\,t\right) +\frac{1}{4}t-\frac{5}{17}e^{t}.

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