Nos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais. Em linguagem compacta, temos:
com
O que precisamos encontrar é a função
que satisfaça essa equação e as condições iniciais. Listando as informações relevantes:
Passo 2
Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos a equação inteira por
(multiplicar ambos os lados por uma constante não altera as soluções):
Isso resulta em
A partir daqui vou resolver a equação equivalente
Passo 3
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com RHS nul0):
A técnica padrão é assumir uma solução da forma
. Substituindo, obtemos a equação característica
Resolvendo para
:
Como as raízes são puramente imaginárias, a solução geral da homogênea é combinação de cosseno e seno:
onde definimos
Explicando:
e
são constantes arbitrárias;
é a frequência angular que aparece por causa das raízes imaginárias da equação característica.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação não-homogênea. Pela linearidade, podemos somar soluções particulares dos termos forçantes separados. O método adequado aqui é o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que diz: tentamos uma forma para
baseada no tipo do forçante (polinômio, exponencial, seno/cosseno etc.) e ajustamos coeficientes para satisfazer a EDO. Como o forçante é
, vamos procurar
onde
resolve a parte polinomial
e
resolve a parte exponencial
.
Também verificamos ressonância: não é solução da homogênea (a homogênea tem senos e cossenos), então não há necessidade de multiplicar a tentativa por
por causa de ressonância.
Também verificamos ressonância:
Passo 5
Encontrando
para o termo polinomial
. Para um polinômio de grau
tentamos
onde
são constantes a determinar. Calculamos derivadas:
Substituindo na EDO (a forma multiplicada por 5 que estamos usando):
Isso dá
Igualando coeficientes de potências de
:
Portanto
Passo 6
Agora
para o termo
. Tentamos
com
constante. Derivadas:
Substituindo na EDO:
Ou seja,
Cancelando
(não é zero), obtemos
Assim
Passo 7
Juntando as partes, a solução geral da equação não-homogênea é
com
.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
. Avaliando
:
Como
, segue
Passo 9
Agora usamos
. Primeiro derivamos
. Lembre-se das derivadas:
Assim
Avalia em
:
Impondo
:
Isolando
:
Calculando a combinação de constantes (colocando em denominador comum
):
Logo
Podemos também escrever
, então
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução do problema de valor inicial: