Uma equação da forma
onde
e
são constantes reais, é chamada de equação de Euler. Por exemplo, a equação dada no Problema 3 é uma equação de Euler, sendo, neste caso,
e
. Mostre que a substituição
transforma uma equação de Euler em uma equação com coeficientes constantes. Use esse resultado para resolver as equações diferenciais dadas abaixo.
, para
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada uma equação de Euler genérica
onde
e
são constantes reais. O enunciado pede que mostremos que a substituição
transforma essa equação numa equação com coeficientes constantes, e que usemos isso para resolver a equação específica fornecida.
- A equação específica a resolver é (interpretei o texto como o exercício
seguido da equação)
- Objetivo final: encontrar a solução geral
válida para .
Passo 2
Fazer a troca de variável e definir uma nova função:
- Definimos a nova variável
Como
, essa mudança é bem definida e tem inversa
.
- Definimos a função dependente em
por
Ou seja,
é exatamente
vista em termos de
. Nosso objetivo é escrever as derivadas de
em relação a
usando derivadas de
em relação a
.
Passo 3
Derivada primeira: aplicação da regra da cadeia (explicação e cálculo passo a passo)
-
Regra da cadeia (breve aula): se
, então ao derivar em relação a podemos usar que e . Em palavras: variação de em = variação de em vezes variação de em . -
Cálculo:
Como
, obtemos
onde
. Isso quer dizer, de forma concreta, que multiplicar por
recupera
:
Passo 4
Derivada segunda: usar regra do produto e a cadeia (explicação detalhada)
-
Queremos
. A partir de devemos aplicar a regra do produto (ou ver como produto de duas funções de ) e novamente a regra da cadeia. -
Primeiro, derive
: . -
Segundo, derive
em relação a : pela cadeia,
- Agora aplique a regra do produto:
- Simplificando,
- Portanto temos a identidade útil:
Passo 5
Transformação da equação de Euler para uma equação com coeficientes constantes (fórmula geral)
- Substituindo
e nas expressões da equação de Euler
usando as fórmulas que achamos:
obtemos
- Agrupando termos:
- Conclusão: a substituição
transforma a equação de Euler numa equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes em :
Passo 6
Aplicar o resultado à equação específica e identificar os coeficientes
- Na equação dada
temos, comparando com a forma
, que
- Substituindo esses valores na equação transformada
dá
isto é
Passo 7
Resolver a equação com coeficientes constantes (método do polinômio característico)
- Para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes
procuramos soluções da forma exponencial
. Substituindo e simplificando obtemos o polinômio característico
- Resolver esse polinômio (breve explicação): é uma equação quadrática normal. Calculamos o discriminante
Como
, há uma raiz real dupla. A raiz é
- Regra para raiz dupla: se a raiz
do polinômio característico tem multiplicidade 2, a solução geral da ODE é
Isso vem da teoria padrão de EDOs lineares com coeficientes constantes (a segunda solução independente é
quando a raiz é repetida).
- Aplicando
obtemos
com
constantes arbitrárias.
Passo 8
Voltar à variável original
(substituição inversa) e escrever a solução geral final
-
Lembrando que
, temos e também . -
Substituindo em
obtemos a solução geral em termos de :
- Observação didática: essa forma
e é típica de equações de Euler quando a equação característica associada tem raízes repetidas (analogia com e para coeficientes constantes).