Uma equação da forma
t^{2} \cdot y^{\prime \prime}(t)+a t \cdot y^{\prime}(t)+b \cdot y(t)=0, \quad t>0
onde a e b são constantes reais, é chamada de equação de Euler. Por exemplo, a equação dada no Problema 3 é uma equação de Euler, sendo, neste caso, a=0 e b=-2. Mostre que a substituição x=\ln t transforma uma equação de Euler em uma equação com coeficientes constantes. Use esse resultado para resolver as equações diferenciais dadas abaixo.
5.2 t^{2} \cdot y^{\prime \prime}-3 t \cdot y^{\prime}+4 y=0, para t>0.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada uma equação de Euler genérica
t^{2}\cdot y''(t)+a\,t\cdot y'(t)+b\cdot y(t)=0,\qquad t>0,
onde a e b são constantes reais. O enunciado pede que mostremos que a substituição x=\ln t transforma essa equação numa equação com coeficientes constantes, e que usemos isso para resolver a equação específica fornecida.
  • A equação específica a resolver é (interpretei o texto como o exercício 5.2 seguido da equação)
t^{2}\cdot y''(t)-3t\cdot y'(t)+4y(t)=0,\qquad t>0.
  • Objetivo final: encontrar a solução geral y(t) válida para t>0.

Passo 2

Fazer a troca de variável e definir uma nova função:
  • Definimos a nova variável
x=\ln t.
Como t>0, essa mudança é bem definida e tem inversa t=e^{x}.
  • Definimos a função dependente em x por
Y(x):=y(t)=y(e^{x}).
Ou seja, Y é exatamente y vista em termos de x. Nosso objetivo é escrever as derivadas de y em relação a t usando derivadas de Y em relação a x.

Passo 3

Derivada primeira: aplicação da regra da cadeia (explicação e cálculo passo a passo)
  • Regra da cadeia (breve aula): se Y(x)=y(e^{x}), então ao derivar y em relação a t podemos usar que x=\ln t e dx/dt=1/t. Em palavras: variação de y em t = variação de Y em x vezes variação de x em t.
  • Cálculo:
y'(t)=\frac{d}{dt}y(t)=\frac{d}{dt}Y(x)=\frac{dY}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Como \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}, obtemos
\boxed{\,y'(t)=\frac{1}{t}\,Y'(x)\,}
onde Y'(x)=\dfrac{dY}{dx}. Isso quer dizer, de forma concreta, que multiplicar por t recupera Y':
\boxed{\,t\,y'(t)=Y'(x)\,.}

Passo 4

Derivada segunda: usar regra do produto e a cadeia (explicação detalhada)
  • Queremos y''(t)=\dfrac{d}{dt}\big(y'(t)\big). A partir de y'(t)=\dfrac{1}{t}Y'(x) devemos aplicar a regra do produto (ou ver \dfrac{1}{t}Y'(x) como produto de duas funções de t) e novamente a regra da cadeia.
  • Primeiro, derive \dfrac{1}{t}: \dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{t}\big)=-\tfrac{1}{t^{2}}.
  • Segundo, derive Y'(x) em relação a t: pela cadeia,
\frac{d}{dt}Y'(x)=\frac{dY'}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=Y''(x)\cdot\frac{1}{t}.
  • Agora aplique a regra do produto:
y''(t)=\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{t}Y'(x)\Big) = \Big(-\frac{1}{t^{2}}\Big)Y'(x)+\frac{1}{t}\Big(Y''(x)\cdot\frac{1}{t}\Big).
  • Simplificando,
y''(t)=-\frac{1}{t^{2}}Y'(x)+\frac{1}{t^{2}}Y''(x)=\frac{1}{t^{2}}\big(Y''(x)-Y'(x)\big).
  • Portanto temos a identidade útil:
\boxed{\,t^{2}y''(t)=Y''(x)-Y'(x)\,.}

Passo 5

Transformação da equação de Euler para uma equação com coeficientes constantes (fórmula geral)
  • Substituindo t^{2}y''(t) e t y'(t) nas expressões da equação de Euler
t^{2}y''(t)+a\,t\,y'(t)+b\,y(t)=0,
usando as fórmulas que achamos:
t^{2}y''(t)=Y''(x)-Y'(x),\qquad t\,y'(t)=Y'(x),\qquad y(t)=Y(x),
obtemos
\big(Y''(x)-Y'(x)\big)+a\,Y'(x)+b\,Y(x)=0.
  • Agrupando termos:
Y''(x)+(a-1)Y'(x)+b\,Y(x)=0.
  • Conclusão: a substituição x=\ln t transforma a equação de Euler numa equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes em x:
\boxed{\,Y''+(a-1)Y'+bY=0\,.}

Passo 6

Aplicar o resultado à equação específica e identificar os coeficientes
  • Na equação dada
t^{2}y''(t)-3t\,y'(t)+4y(t)=0
temos, comparando com a forma t^{2}y''+a\,t\,y'+b\,y=0, que
a=-3,\qquad b=4.
  • Substituindo esses valores na equação transformada Y''+(a-1)Y'+bY=0
Y''+(-3-1)Y'+4Y=0,
isto é
\boxed{\,Y''-4Y'+4Y=0\,.}

Passo 7

Resolver a equação com coeficientes constantes (método do polinômio característico)
  • Para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes
Y''-4Y'+4Y=0
procuramos soluções da forma exponencial Y(x)=e^{r x}. Substituindo e simplificando obtemos o polinômio característico
r^{2}-4r+4=0.
  • Resolver esse polinômio (breve explicação): é uma equação quadrática normal. Calculamos o discriminante
\Delta=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot4=16-16=0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{4}{2}=2.
  • Regra para raiz dupla: se a raiz r do polinômio característico tem multiplicidade 2, a solução geral da ODE é
Y(x)=C_{1}e^{rx}+C_{2}x e^{rx}.
Isso vem da teoria padrão de EDOs lineares com coeficientes constantes (a segunda solução independente é x e^{rx} quando a raiz é repetida).
  • Aplicando r=2 obtemos
\boxed{\,Y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}\,}
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Passo 8

Voltar à variável original t (substituição inversa) e escrever a solução geral final
  • Lembrando que x=\ln t, temos e^{2x}=e^{2\ln t}=(e^{\ln t})^{2}=t^{2} e também x e^{2x}=(\ln t)\,t^{2}.
  • Substituindo em Y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x} obtemos a solução geral em termos de t:
\boxed{\,y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{2}\ln t\,,\qquad t>0\,.}
  • Observação didática: essa forma t^{2} e t^{2}\ln t é típica de equações de Euler quando a equação característica associada tem raízes repetidas (analogia com e^{rx} e x e^{rx} para coeficientes constantes).

Resposta

y(t)=C_{1}t^{2}+C_{2}t^{2}\ln t

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