Nos problemas abaixo, encontre a Transformada de Laplace inversa das funções dadas.
\frac{s^{3}-2 s^{2}-6 s-6}{s^{2}\left(s^{2}+2 s+2\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
F(s) = \frac{s^{3} - 2s^{2} - 6s - 6}{s^{2}\bigl(s^{2} + 2s + 2\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e uso das propriedades básicas da transformada de Laplace inversa, em especial \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}(t)=t e \mathcal{L}^{-1}\{\,(s+a)/[(s+a)^{2}+b^{2}]\}(t)=e^{-a t}\cos(bt).

Passo 2

Vamos escrever F(s) na forma
\frac{s^{3}-2s^{2}-6s-6}{s^{2}(s^{2}+2s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^{2}} + \frac{Cs + D}{s^{2} + 2s + 2}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s^{2}+2s+2) vem
s^{3}-2s^{2}-6s-6 = A\,s\,(s^{2}+2s+2) + B\,(s^{2}+2s+2) + (Cs+D)\,s^{2}.

Passo 3

Expandindo e coletando coeficientes de potências de s: A\,s\,(s^{2}+2s+2) = A s^{3} + 2A s^{2} + 2A s, B\,(s^{2}+2s+2) = B s^{2} + 2B s + 2B, (Cs+D)s^{2} = C s^{3} + D s^{2}.
Logo, comparando coeficientes em
s^{3}: A + C = 1, \quad s^{2}: 2A + B + D = -2, \quad s^{1}: 2A + 2B = -6, \quad s^{0}: 2B = -6,
resolvendo encontramos
B = -3,\quad 2A + 2(-3) = -6\\ \Rightarrow\\ A=0, \quad C = 1, \quad 2\cdot0 +(-3)+D=-2\\ \Rightarrow\\ D=1.

Passo 4

Substituindo A=0, B=-3, C=1, D=1 de volta, obtemos
F(s) = \frac{-3}{s^{2}} \;+\; \frac{s+1}{s^{2}+2s+2}.
Repare que s^{2}+2s+2 = (s+1)^{2}+1. Então
\frac{s+1}{s^{2}+2s+2} = \frac{s+1}{(s+1)^{2}+1}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-3/s^{2}\Bigr\}(t) = -3\,t, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1}\Bigr\}(t) = e^{-t}\cos(t).
Portanto, a solução no domínio do tempo é
f(t) = -3\,t \;+\; e^{-t}\cos(t),\quad t\ge0.

Resposta

f(t) = -3\,t + e^{-t}\cos(t).

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