Nos problemas abaixo, encontre a Transformada de Laplace inversa das funções dadas.
3 \frac{3 s+2}{(s-2)(s+2)(s+1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa de
F(s)=3\,\frac{3s+2}{(s-2)(s+2)(s+1)}.
O conteúdo necessário é a decomposição em frações parciais e a tabela básica \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}=e^{at}.

Passo 2

Primeiro escrevemos
F(s)=\frac{9s+6}{(s-2)(s+2)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+2)(s+1) obtém-se o numerador
9s+6 = A(s+2)(s+1) + B(s-2)(s+1) + C(s-2)(s+2).

Passo 3

Expandindo e comparando coeficientes de s^2, s e termo independente, vem o sistema
\begin{cases} A+B+C=0,\\\\ 3A - B = 9,\\\\ 2A -2B -4C = 6. \end{cases}
Resolvendo, achamos
A=2,\quad B=-3,\quad C=1.

Passo 4

Portanto
F(s)=\frac{2}{s-2}-\frac{3}{s+2}+\frac{1}{s+1}.
Aplicando a transformada de Laplace inversa termo a termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}=e^{at}, temos
f(t)=2e^{2t}-3e^{-2t}+e^{-t}.

Resposta

f(t)=2e^{2t}-3e^{-2t}+e^{-t}.

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