Nos problemas abaixo, use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-12 y=0 ; \quad y(0)=8, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem
y'' - 4y' - 12y = 0
com condições iniciais y(0)=8 e y'(0)=0. Vamos usar a Transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s).

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados e usando \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0), obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot8-0\bigr)\;-\;4\bigl(sY(s)-8\bigr)\;-\;12Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Reunindo os termos em Y(s):
s^2Y(s)-8s \;-\;4sY(s)+32 \;-\;12Y(s)=0
\bigl(s^2-4s-12\bigr)Y(s)\;-\;8s+32=0
Y(s)=\frac{8s-32}{s^2-4s-12} =\frac{8(s-4)}{(s-6)(s+2)}.
Fazendo frações parciais:
\frac{8(s-4)}{(s-6)(s+2)} =\frac{2}{s-6}+\frac{6}{s+2}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
y(t)=2\,e^{6t}+6\,e^{-2t}.

Resposta

y(t)=2e^{6t}+6e^{-2t}.

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