Nos problemas abaixo, encontre a Transformada de Laplace inversa das funções dadas.
\frac{5 s+25}{s^{2}+10 s+74};

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de \displaystyle \frac{5 s+25}{s^{2}+10 s+74}.
O conteúdo aqui é “Transformada de Laplace inversa” e vamos usar completamento de quadrado no denominador e a forma padrão \mathcal{L}^{-1}\{\,(s+a)/[(s+a)^{2}+b^{2}]\}=e^{-a t}\cos(bt).

Passo 2

Completa-mos o quadrado no denominador:
s^{2}+10 s+74 \;=\;(s+5)^{2} +74-25 \;=\;(s+5)^{2}+7^{2}.

Passo 3

Reescrevemos o numerador em função de (s+5):
5s+25 \;=\;5\,(s+5).
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\frac{5s+25}{s^{2}+10 s+74} =\frac{5\,(s+5)}{(s+5)^{2}+7^{2}}.

Passo 4

Reconhecemos a forma de Laplace: \mathcal{L}\{e^{-5t}\cos(7t)\} = \frac{s+5}{(s+5)^{2}+7^{2}}.
Multiplicando por 5 em s-domínio equivale a multiplicar a função no tempo por 5.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{5\,(s+5)}{(s+5)^{2}+7^{2}}\Big\} =5\,e^{-5t}\cos(7t).

Resposta

A transformada de Laplace inversa é
5\,e^{-5t}\cos(7t).

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