Nos problemas abaixo, use as propriedades operacionais para resolver os problemas de valores iniciais.
y^{\prime}=2 y+f(t), y(0)=0\), onde \(f(t)=\) \(\begin{cases}t, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O problema é resolver o valor inicial
y'(t)=2\,y(t)+f(t),\quad y(0)=0,
onde
f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<1,\\\\ 0,&t\ge1. \end{cases}
O método escolhido será a transformada de Laplace. Precisamos conhecer a propriedade \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0), a transformada de um pulso \int_{0}^{1}t e^{-st}dt e o teorema do deslocamento.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados de y'(t)=2y(t)+f(t) e usando y(0)=0 obtemos
sY(s)=2Y(s)+F(s) \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{F(s)}{s-2}.

Passo 3

Como f(t)=t em [0,1) e zero depois,
F(s)=\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt.
Fazendo a integral por partes ou lembrando uma forma padrão,
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt =\frac{1}{s^2}-e^{-s}\,\frac{1+s}{s^2}.

Passo 4

Logo
Y(s) =\frac{1}{s-2}\Bigl(\frac{1}{s^2}-e^{-s}\frac{1+s}{s^2}\Bigr) =\underbrace{\frac{1}{s^2(s-2)}}_{Y_1(s)} \;-\; e^{-s}\underbrace{\frac{1+s}{s^2(s-2)}}_{Y_2(s)}.
Para inverter Y_1(s)=1/[s^2(s-2)] fazemos frações parciais:
\frac{1}{s^2(s-2)} =-\tfrac14\,\frac{1}{s} -\tfrac12\,\frac{1}{s^2} +\tfrac14\,\frac{1}{s-2}.
Assim
y_1(t) =\mathcal{L}^{-1}\{Y_1(s)\} =-\tfrac14 -\tfrac12\,t +\tfrac14\,e^{2t} =\frac{e^{2t}-2t-1}{4}.

Passo 5

Para Y_2(s)=(1+s)/[s^2(s-2)] repetimos frações parciais:
\frac{s+1}{s^2(s-2)} =-\tfrac34\,\frac{1}{s} -\tfrac12\,\frac{1}{s^2} +\tfrac34\,\frac{1}{s-2}.
Logo
k(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y_2(s)\} =-\tfrac34 -\tfrac12\,t +\tfrac34\,e^{2t}.
Pelo teorema do deslocamento, \mathcal{L}^{-1}\{e^{-s}Y_2(s)\}=u(t-1)\,k(t-1).
Como Y(s) tem sinal negativo nesse termo,
y_2(t) =-u(t-1)\,k(t-1) =-u(t-1)\Bigl(-\tfrac34-\tfrac12\,(t-1)+\tfrac34\,e^{2(t-1)}\Bigr).

Passo 6

A solução é y(t)=y_1(t)+y_2(t).
Para 0\le t<1 tem-se u(t-1)=0, então
y(t)=y_1(t)=\frac{e^{2t}-2t-1}{4}.
Para t\ge1 ativa-se y_2 e, após simplificar,
y(t) =\frac{e^{2t}-2t-1}{4} +\Bigl(\tfrac34+\tfrac12(t-1)-\tfrac34\,e^{2(t-1)}\Bigr) =\frac{e^{2t}-3\,e^{2(t-1)}}{4}.

Resposta

Para 0\le t<1:
y(t)=\frac{e^{2t}-2t-1}{4}.
Para t\ge1:
y(t)=\frac{e^{2t}-3\,e^{2(t-1)}}{4}.

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