Nos problemas abaixo, use as propriedades operacionais para resolver os problemas de valores iniciais.
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=\mathcal{U}(t-1), y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 5y' + 6y = \mathcal{U}(t-1), \quad y(0)=1,\;y'(0)=0,
usando transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo (para o degrau unitário).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0), \mathcal{L}\{y'\} = s\,Y(s) - y(0),
e \mathcal{L}\{\mathcal{U}(t-1)\} = \frac{e^{-s}}{s}.
Fazendo isso, obtemos
s^2Y(s) - s\cdot1 - 0 \;+\; 5\bigl(sY(s) - 1\bigr) \;+\; 6\,Y(s) \;=\;\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e isolando, chega-se a
Y(s)\bigl(s^2+5s+6\bigr) - (s+5) \;=\;\frac{e^{-s}}{s},
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Y(s) =\frac{s+5}{s^2+5s+6} \;+\;\frac{e^{-s}}{s\,\bigl(s^2+5s+6\bigr)}.

Passo 4

Fatoramos o polinômio característico:
s^2+5s+6 = (s+2)(s+3).
Para a parte homogênea fazemos
\frac{s+5}{(s+2)(s+3)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+3}.
Igualando numeradores: s+5 = A(s+3) + B(s+2).
Resolvendo, obtemos A=3 e B=-2.

Passo 5

Agora decompondo o termo forçado
\frac{1}{s\,(s+2)(s+3)} = \frac{C_1}{s} + \frac{C_2}{s+2} + \frac{C_3}{s+3},
temos
1 = C_1(s+2)(s+3) + C_2\,s(s+3) + C_3\,s(s+2).
Tomando s=0,-2,-3 C_1=\tfrac{1}{6}, C_2=-\tfrac12, C_3=\tfrac13.

Passo 6

Voltando ao domínio do tempo:
  • A parte homogênea é
y_h(t) = 3e^{-2t} - 2e^{-3t}.
  • A parte forçada vem do teorema do deslocamento:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{e^{-s}\frac{1}{s\,(s+2)(s+3)}\Bigr\} = \mathcal{U}(t-1)\,\Bigl( \tfrac{1}{6} - \tfrac12 e^{-2(t-1)} + \tfrac13 e^{-3(t-1)} \Bigr).

Passo 7

Somando as duas contribuições, a solução geral é
y(t) = 3e^{-2t} - 2e^{-3t} + \mathcal{U}(t-1)\,\Bigl( \tfrac{1}{6} - \tfrac12 e^{-2(t-1)} + \tfrac13 e^{-3(t-1)} \Bigr).

Resposta

y(t) = 3e^{-2t} - 2e^{-3t} + \mathcal{U}(t-1)\,\Bigl( \tfrac{1}{6} - \tfrac12 e^{-2(t-1)} + \tfrac13 e^{-3(t-1)} \Bigr).

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