Nos problemas abaixo, use as propriedades operacionais para resolver os problemas de valores iniciais.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo (para o degrau unitário).
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
,
,
e .
Fazendo isso, obtemos
e
Fazendo isso, obtemos
Passo 3
Agrupando os termos em
e isolando, chega-se a
logo
Passo 4
Fatoramos o polinômio característico:
Para a parte homogênea fazemos
Igualando numeradores:
.
Resolvendo, obtemos e
.
Resolvendo, obtemos
Passo 5
Agora decompondo o termo forçado
temos
Tomando
dá
,
,
.
Passo 6
Voltando ao domínio do tempo:
- A parte homogênea é
- A parte forçada vem do teorema do deslocamento:
Passo 7
Somando as duas contribuições, a solução geral é