Nos problemas abaixo, use as propriedades operacionais para resolver os problemas de valores iniciais.
$y^{\prime \prime}+4 y=\sin t \cdot \mathcal{U}(t-2), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+4y=\sin t\;\mathcal U(t-2),\quad y(0)=0,\;y'(0)=1
usando propriedades operacionais (transformada de Laplace). Vamos trabalhar com Y(s)=\mathcal L\{y(t)\} e usar a transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0) e \mathcal L\{y\}=Y(s), obtemos
s^2Y(s)-1+4\,Y(s)\;=\;\mathcal L\{\sin t\;\mathcal U(t-2)\}.

Passo 3

Para a parte direita usamos o teorema do deslocamento: \sin t=\sin[(t-2)+2]=\sin(t-2)\cos2+\cos(t-2)\sin2. Logo
\mathcal L\{\sin t\,\mathcal U(t-2)\} =e^{-2s}\,\mathcal L\{\sin(t-2)\cos2+\cos(t-2)\sin2\} =e^{-2s}\Bigl(\frac{\cos2}{s^2+1}+\frac{s\sin2}{s^2+1}\Bigr).

Passo 4

Substituindo na equação de Y(s) temos
(s^2+4)Y(s)-1 =e^{-2s}\,\frac{s\sin2+\cos2}{s^2+1},
de onde
Y(s) =\frac{1}{s^2+4} +e^{-2s}\,\frac{s\sin2+\cos2}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 5

Para inverter a parte \displaystyle F(s)=\frac{s\sin2+\cos2}{(s^2+1)(s^2+4)}
fazemos frações parciais do tipo
\frac{s\sin2+\cos2}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+4}.
Igualando numeradores obtém-se o sistema
A+C=0,\quad B+D=0,\quad 4A+C=\sin2,\quad4B+D=\cos2,
cuja solução é
A=\frac{\sin2}{3},\;B=\frac{\cos2}{3},\;C=-\frac{\sin2}{3},\;D=-\frac{\cos2}{3}.

Passo 6

Assim
F(s) =\frac{\tfrac{\sin2}{3}\,s+\tfrac{\cos2}{3}}{s^2+1} -\frac{\tfrac{\sin2}{3}\,s+\tfrac{\cos2}{3}}{s^2+4}.
Invertendo cada termo: \mathcal L^{-1}\{s/(s^2+1)\}=\cos t, \mathcal L^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t, \mathcal L^{-1}\{s/(s^2+4)\}=\cos(2t), \mathcal L^{-1}\{1/(s^2+4)\}=\tfrac12\sin(2t).
Logo
f(t)=\mathcal L^{-1}\{F(s)\} =\frac{\sin2}{3}\cos t+\frac{\cos2}{3}\sin t -\frac{\sin2}{3}\cos(2t) -\frac{\cos2}{6}\sin(2t).

Passo 7

Voltando ao domínio do tempo, a transformada deslocada dá
\mathcal L^{-1}\{e^{-2s}F(s)\} =f(t-2)\,\mathcal U(t-2).
E o primeiro termo de Y(s), \tfrac1{s^2+4}, gera \tfrac12\sin(2t). Portanto
y(t) =\frac12\sin(2t) +\mathcal U(t-2)\Bigl[ \frac{\sin2}{3}\cos(t-2) +\frac{\cos2}{3}\sin(t-2) -\frac{\sin2}{3}\cos\bigl(2(t-2)\bigr) -\frac{\cos2}{6}\sin\bigl(2(t-2)\bigr) \Bigr].

Resposta

y(t) =\frac12\sin(2t) +\mathcal U(t-2)\Bigl[ \frac{\sin2}{3}\cos(t-2) +\frac{\cos2}{3}\sin(t-2) -\frac{\sin2}{3}\cos\bigl(2t-4\bigr) -\frac{\cos2}{6}\sin\bigl(2t-4\bigr) \Bigr].

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