Nos problemas abaixo, use as propriedades operacionais para resolver os problemas de valores iniciais.
$y^{\prime \prime}+4 y=\sin t \cdot \mathcal{U}(t-2), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1
$y^{\prime \prime}+4 y=\sin t \cdot \mathcal{U}(t-2), y(0)=0, y^{\prime}(0)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
usando propriedades operacionais (transformada de Laplace). Vamos trabalhar com
e usar a transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que
e
, obtemos
Passo 3
Para a parte direita usamos o teorema do deslocamento:
. Logo
Passo 4
Substituindo na equação de
temos
de onde
Passo 5
Para inverter a parte
fazemos frações parciais do tipo
fazemos frações parciais do tipo
Igualando numeradores obtém-se o sistema
cuja solução é
Passo 6
Assim
Invertendo cada termo:
,
,
,
.
Logo
Logo
Passo 7
Voltando ao domínio do tempo, a transformada deslocada dá
E o primeiro termo de
,
, gera
. Portanto