Nos problemas abaixo, use as propriedades operacionais para resolver os problemas de valores iniciais.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' - y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=1
usando propriedades operacionais da transformada de Laplace. Vamos lembrar que \mathcal L\{y(t)\}=Y(s), \mathcal L\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e \mathcal L\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo de y''-2y'-y=0, temos
s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\;-\;2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)\;-\;Y(s)\;=\;0.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=1,
s^2Y(s)-s-1 \;-\;2sY(s)+2 \;-\;Y(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad (s^2-2s-1)\,Y(s)=s-1
\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s-1}{s^2-2s-1}.

Passo 3

Note que
s^2-2s-1=(s-1)^2-2.
Para inverter facilmente, fazemos a decomposição em frações parciais:
Y(s) =\frac{s-1}{(s-1-\sqrt2)(s-1+\sqrt2)} =\frac12\Bigl(\frac1{s-1-\sqrt2}+\frac1{s-1+\sqrt2}\Bigr).

Passo 4

Usando \mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s-a}\}=e^{a t}, obtemos
y(t) =\frac12\Bigl(e^{(1+\sqrt2)t}+e^{(1-\sqrt2)t}\Bigr).

Resposta

y(t)=\frac12\Bigl(e^{(1+\sqrt2)t}+e^{(1-\sqrt2)t}\Bigr).

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