Nos problemas abaixo, use as propriedades operacionais para resolver os problemas de valores iniciais.
y^{\prime}=y+f(t), y(0)=0\), onde \(f(t)=\) \(\begin{cases}1, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = y + f(t),\quad y(0)=0,
onde
f(t)=\begin{cases} 1,&0\le t<1,\\\\ 0,&t\ge1. \end{cases}
O método escolhido será usar transformada de Laplace e as propriedades operacionais, em particular a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Reescrevemos f(t) em termos da função degrau u(t). Como f(t)=1 até t=1 e zero depois, temos
f(t)=1 - u(t-1).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y' = y + f(t).
Como y(0)=0,
\mathcal L\{y'\}(s) = sY(s), \quad \mathcal L\{y\}(s) = Y(s), \quad \mathcal L\{f(t)\}(s)=F(s).
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sY(s) = Y(s) + F(s).

Passo 4

Isolando Y(s) obtemos
(s-1)Y(s)=F(s), \quad Y(s)=\frac{F(s)}{s-1}.
Agora calculamos F(s). Como f(t)=1 - u(t-1),
F(s)=\frac{1}{s} - \frac{e^{-s}}{s}.

Passo 5

Substituindo em Y(s),
Y(s) =\frac{1/s - e^{-s}/s}{s-1} =\frac{1}{s(s-1)} \;-\;\frac{e^{-s}}{s(s-1)}.

Passo 6

Fazemos a inversa de cada termo. Primeiro, por frações parciais,
\frac{1}{s(s-1)} = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s-1},
cuja inversa é
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s(s-1)}\Bigr\} = e^{t}-1.
Em seguida, pelo teorema do deslocamento no tempo,
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{e^{-s}}{s(s-1)}\Bigr\} = u(t-1)\,\bigl(e^{\,t-1}-1\bigr).

Passo 7

Reunindo os dois termos temos
y(t) = \bigl(e^{t}-1\bigr) \;-\; u(t-1)\,\bigl(e^{\,t-1}-1\bigr).
Isto gera a forma em dois ramos:
para 0\le t<1, u(t-1)=0, logo
y(t)=e^{t}-1.
para t\ge1, u(t-1)=1, logo
y(t)=e^{t}-1 \;-\;\bigl(e^{\,t-1}-1\bigr) = e^{t}-e^{\,t-1} = (e-1)\,e^{\,t-1}.

Resposta

Para 0\le t<1:
y(t)=e^{t}-1.
Para t\ge1:
y(t)=(e-1)\,e^{\,t-1}.

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