Nos problemas abaixo, use a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+25 y=0 ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - 8y' + 25y = 0,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=3
O conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes e vamos usar a Transformada de Laplace para resolver.

Passo 2

Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, aplicamos a transformada em cada termo usando \mathcal{L}\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0)
e \mathcal{L}\{y'\} = s\,Y(s) - y(0).

Passo 3

Substituindo na EDO:
s^2Y(s) - 3 \;-\;8\bigl(sY(s)-0\bigr)\;+\;25Y(s)=0
Reagru­pando os termos em Y(s) obtemos
(s^2 - 8s + 25)\,Y(s) = 3.
Completo o quadrado no coeficiente de s:
s^2 - 8s + 25 = (s-4)^2 + 9,
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Y(s) = \frac{3}{(s-4)^2 + 3^2}.

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s-a)^2 + b^2},
com a=4 e b=3. Assim,
y(t) = e^{4t}\,\sin(3t).

Resposta

y(t) = e^{4t}\sin(3t)

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