Use o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular do PVI dado.
y^{\prime \prime}+y=t g(t), \quad 0<t<\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação não-homogênea
y'' + y = t\,g(t),\qquad 0<t<\frac{\pi}{2},
usando o método de variação de parâmetros. Para isso precisamos primeiro da solução geral da equação homogênea associada
y'' + y = 0,
cujas soluções fundamentais são \cos t e \sin t.

Passo 2

Chamando
y_{1}(t)=\cos t,\quad y_{2}(t)=\sin t,
o Wronskiano é
W(t)= \begin{vmatrix} \cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t \end{vmatrix} =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 3

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, escrevemos a solução particular na forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)\cos t+u_{2}(t)\sin t
com
u_{1}'(t)=-\frac{y_{2}(t)\,f(t)}{W(t)} =-\sin t\;\bigl(t\,g(t)\bigr) =-t\,\sin t\,g(t),
u_{2}'(t)=\frac{y_{1}(t)\,f(t)}{W(t)} =\cos t\;\bigl(t\,g(t)\bigr) =t\,\cos t\,g(t).

Passo 4

Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Escolhendo constantes de integração zero (já que elas entram na parte homogênea), temos
u_{1}(t)=-\int t\,\sin t\,g(t)\,\mathrm{d}t, \quad u_{2}(t)=\int t\,\cos t\,g(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Substituindo em y_{p}, encontramos
y_{p}(t) =-\cos t\;\int t\,\sin t\,g(t)\,\mathrm{d}t +\sin t\;\int t\,\cos t\,g(t)\,\mathrm{d}t.

Resposta

y_{p}(t) =-\cos t\int^{t} s\,\sin s\,g(s)\,\mathrm{d}s +\sin t\int^{t} s\,\cos s\,g(s)\,\mathrm{d}s.

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