Q3. [2,5 pontos] Seja T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear definida por
T\left(a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}\right)=\left(a_{0}+a_{1}, a_{1}-a_{2}, a_{0}+a_{1}+a_{2}\right)
a) [1,0 ponto] Calcule \mathrm{Ker} T e conclua se T é injetora;
b) [1,5 pontos ] T é um isomorfismo? Caso afirmativo, determine T^{-1}.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{3},\qquad T\bigl(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\bigr)=(a_{0}+a_{1},\,a_{1}-a_{2},\,a_{0}+a_{1}+a_{2}).
Pede (a) calcular \mathrm{Ker}\,T e verificar injetividade e (b) decidir se T é isomorfismo e, em caso afirmativo, obter T^{-1}.

Passo 2

Para encontrar \mathrm{Ker}\,T igualamos
T(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2})=(0,0,0)
o que gera o sistema
\begin{cases} a_{0}+a_{1}=0,\\\ a_{1}-a_{2}=0,\\\ a_{0}+a_{1}+a_{2}=0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema: da primeira equação a_{0}=-a_{1}; da segunda a_{2}=a_{1}. Substituindo na terceira:
(-a_{1})+a_{1}+(a_{1})=0\quad\Longrightarrow\quad a_{1}=0.
Logo a_{1}=0, a_{0}=0 e a_{2}=0. Portanto
\mathrm{Ker}\,T=\{0\}
e T é injetora.

Passo 4

Como \dim P_{2}(\mathbb{R})=3 e \dim\mathbb{R}^{3}=3, uma transformação linear injetora entre espaços de mesma dimensão é também sobrejetora. Logo T é um isomorfismo.

Passo 5

Para achar T^{-1}\), dados \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\) resolvemos \[\begin{cases} a_{0}+a_{1}=x,\\\ a_{1}-a_{2}=y,\\\ a_{0}+a_{1}+a_{2}=z \end{cases}
Da segunda a_{2}=a_{1}-y\], da primeira \(a_{0}=x-a_{1}. Substituindo na terceira:
(x-a_{1})+a_{1}+(a_{1}-y)=z\quad\Longrightarrow\quad a_{1}=z+y-x.
Então
a_{0}=x-(z+y-x)=2x-y-z,\qquad a_{2}=(z+y-x)-y=z-x.
Portanto
T^{-1}(x,y,z)=(2x-y-z)+(z+y-x)\,t+(z-x)\,t^{2}.

Resposta

\mathrm{Ker}\,T=\{0\}, logo T é injetora. Como \dim P_{2}=\dim\mathbb{R}^{3}, T é isomorfismo e
T^{-1}(x,y,z) = (2x-y-z) + (z+y-x)\,t + (z-x)\,t^{2}.

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