Nos problemas abaixo, verifique que a(s) função(ões) dada(s) é (são) solução(ões) da equação diferencial.
y^{\prime \prime}(t)+y(t)=\operatorname{sec} (t), 0<t<\pi / 2 ; y(t)=(\cos (t)) \ln (\cos (t))+t \sin (t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função \displaystyle y(t)=\cos(t)\,\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+t\sin(t)
satisfaz a equação diferencial
y''(t)+y(t)=\operatorname{sec}(t),
no intervalo 0<t<\pi/2. Para isso, vamos calcular y'(t), depois y''(t) e finalmente mostrar que y''(t)+y(t)=\operatorname{sec}(t).

Passo 2

Calculemos y'(t). Escrevendo y(t)=u(t)+v(t) com
u(t)=\cos(t)\,\ln\bigl(\cos(t)\bigr), \quad v(t)=t\sin(t),
temos:
  1. Derivada de u(t), usando produto e cadeia:
u'(t) =\bigl(\cos(t)\bigr)'\ln\bigl(\cos(t)\bigr) +\cos(t)\,\bigl[\ln\bigl(\cos(t)\bigr)\bigr]' =-\sin(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr) +\cos(t)\,\frac{-\sin(t)}{\cos(t)} =-\sin(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)-\sin(t).
  1. Derivada de v(t), usando produto:
v'(t) =(t)'\sin(t)+t\bigl(\sin(t)\bigr)' =\sin(t)+t\cos(t).
Somando,
y'(t)=u'(t)+v'(t) =-\sin(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)-\sin(t)+\sin(t)+t\cos(t) =-\sin(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+t\cos(t).

Passo 3

Agora derivamos y'(t) para obter y''(t):
  1. Derivada de -\sin(t)\ln(\cos(t)):
\frac{d}{dt}\bigl[\sin(t)\ln(\cos(t))\bigr] =\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr) +\sin(t)\,\frac{-\sin(t)}{\cos(t)} =\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr) -\frac{\sin^2(t)}{\cos(t)} =\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr) -\frac{1-\cos^2(t)}{\cos(t)} =\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)-\operatorname{sec}(t)+\cos(t).
Logo,
\frac{d}{dt}\bigl[-\sin(t)\ln(\cos(t))\bigr] =-\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+\operatorname{sec}(t)-\cos(t).
  1. Derivada de t\cos(t):
\frac{d}{dt}\bigl[t\cos(t)\bigr] =\cos(t)-t\sin(t).
Somando,
y''(t) =-\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+\operatorname{sec}(t)-\cos(t) +\cos(t)-t\sin(t) =-\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+\operatorname{sec}(t)-t\sin(t).

Passo 4

Finalmente, somamos y''(t) com y(t):
y''(t)+y(t) =\bigl[-\cos(t)\ln(\cos(t))+\operatorname{sec}(t)-t\sin(t)\bigr] +\bigl[\cos(t)\ln(\cos(t))+t\sin(t)\bigr] =\operatorname{sec}(t).
Isso mostra que a função dada satisfaz a equação y''+y=\operatorname{sec}(t).

Resposta

A função \displaystyle y(t)=\cos(t)\ln\bigl(\cos(t)\bigr)+t\sin(t) é solução da equação diferencial y''(t)+y(t)=\operatorname{sec}(t) em 0<t<\pi/2.

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