Em cada um dos itens abaixo, determine a ordem das EDO’s. Verifique também se a função dada é solução da equação correspondente. Em seguida, determine c de modo que a solução particular resultante satisfaça a condição dada.
t y^{\prime}=3 y ; y(t)=c t^{3} ; y=1 quando t=-2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
t\,y' = 3\,y
e propõe a função candidata \,y(t)=c\,t^3.
Precisamos (i) determinar a ordem da EDO, (ii) verificar se y(t)=c\,t^3 satisfaz a equação para todo t, e (iii) encontrar c de modo que y(-2)=1.

Passo 2

A equação envolve apenas a primeira derivada y', portanto é de primeira ordem.
Agora verificamos se y(t)=c\,t^3 é solução:
y'(t)=3\,c\,t^2.
Substituindo em t\,y' = 3\,y, obtemos
t\,(3\,c\,t^2) = 3\,(c\,t^3) \quad\Longrightarrow\quad 3\,c\,t^3 = 3\,c\,t^3,
o que é verdadeiro para todo t. Logo, y(t)=c\,t^3 satisfaz a EDO para qualquer constante c.

Passo 3

Impondo a condição y(-2)=1, temos
c\,(-2)^3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad -8\,c = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = -\tfrac{1}{8}.

Resposta

c = -\tfrac{1}{8}.

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