Resolva os seguintes PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}x^{2} y^{\prime}+x y=1, x>0 \\\ y(1)=2\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x^{2}y' + x\,y = 1,\quad x>0,
com y(1)=2.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem em y(x). Vamos colocar na forma padrão, achar o fator integrante, integrar e usar a condição inicial.

Passo 2

Dividindo tudo por x^{2} (válido pois x>0), obtemos a forma padrão
y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Identificamos p(x)=\tfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{1}{x}dx\Bigr) = \exp(\ln x) = x.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x, fica
x\,y' + y = \frac{1}{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x\,y, pois
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\,y' + y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}(x\,y)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,y = \ln x + C,
onde C é constante de integração. Logo
y(x) = \frac{\ln x + C}{x}.

Passo 6

Aplicamos a condição y(1)=2:
y(1)=\frac{\ln 1 + C}{1} = C = 2.
Assim a solução particular é
y(x) = \frac{\ln x + 2}{x},\quad x>0.

Resposta

y(x) = \frac{\ln x + 2}{x}.

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