Nos problemas, classificar e resolver os sistemas:
l2 x+3 y+4 z=53 3 x+5 y-4 z=2 4 x+7 y-2 z=31

Passo 1

Temos um sistema linear de três equações e três incógnitas:
O conteúdo envolvido é classificação de sistemas por determinante e resolução por eliminação.

Passo 2

Para classificar, montamos a matriz dos coeficientes
A= 2 &3 &4 3 &5 &-4 4 &7 &-2
e calculamos seu determinante:
det(A) =2l(5cdot(-2)-(-4)cdot7r) -3l(3cdot(-2)-(-4)cdot4r) +4l(3cdot7-5cdot4r) =10neq0
Como det(A)neq0, o sistema é compatível determinado e terá solução única.

Passo 3

Para resolver, eliminamos z somando a primeira e a segunda equações:
(2x+3y+4z)+(3x+5y-4z)=53+2 Longrightarrow 5x+8y=55
Denotamos esta como equação (4).

Passo 4

Eliminamos z combinando a equação (1) com o dobro da (3). O dobro da (3) é
8x+14y-4z=62
Somando com (1):
(2x+3y+4z)+(8x+14y-4z)=53+62 Longrightarrow 10x+17y=115
Denotamos esta como equação (5).

Passo 5

Resolvemos o sistema em
Dobro de . Subtraindo de obtemos
Substituindo em :

Passo 6

Usamos x=3 e y=5 na primeira equação para achar z:
2cdot3+3cdot5+4z=53 Longrightarrow 6+15+4z=53 Longrightarrow 4z=32 Longrightarrow z=8

Resposta

O sistema é compatível determinado e a solução única é
(x,y,z)=(3,5,8)

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