Sendo f: R^2 R uma função definida por f(x, y)=raiz|x y|, calcule fx(0,0) e fy(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon R^2toR definida por
f(x,y)=raizlvert x,yrvert
e pede as derivadas parciais em (0,0). Para isso usamos a definição de derivada parcial como limite de quociente incremental, fixando uma variável em zero e variando a outra.

Passo 2

Para calcular fx(0,0) fixamos y=0 e definimos
fx(0,0)=limhto0f(0+h,0)-f(0,0)h
Como f(h,0)=raizlvert hcdot0rvert=0 e f(0,0)=0, temos
fx(0,0)=limhto00-0h=limhto00=0

Passo 3

Para calcular fy(0,0) fixamos x=0 e definimos
fy(0,0)=limkto0f(0,0+k)-f(0,0)k
Como f(0,k)=raizlvert 0cdot krvert=0, segue
fy(0,0)=limkto00-0k=limkto00=0

Resposta

fx(0,0)=0
fy(0,0)=0

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