Obtenha a solução geral da seguinte equação diferencial, pelo método dos coeficientes indeterminados.
Essa questalo é distribuida da seguinte maneira: ( 1,0 ) obter a soluçao complementar yc: obter a solução particular obter a solução geral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos forçados (como os cossenos, senos e constantes aqui). Vamos dividir a resolução em partes: primeiro, achamos a solução complementar da equação homogênea, depois uma solução particular para a equação completa e, por fim, juntamos tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas ( ), a solução complementar é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A função do lado direito tem três termos: , e . Vamos buscar uma solução particular para cada parte e depois somar.
Para os termos :
Assumimos uma solução na forma:
Derivando :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:
Para o termo constante :
Assumimos uma solução particular constante:
Derivando :
Substituindo na equação diferencial:
Então, a solução particular para essa parte é:
Solução Particular Total:
Somando as duas soluções particulares:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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