Obtenha a solução geral da seguinte equação diferencial, pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+4 y=4 cos x+3 sen x-8
Essa questalo é distribuida da seguinte maneira: ( 1,0 ) obter a soluçao complementar yc: (1,5) obter a solução particular yp ;(0,5) obter a solução geral y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
y'' + 4y = 4cos x + 3sin x - 8
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos forçados (como os cossenos, senos e constantes aqui). Vamos dividir a resolução em partes: primeiro, achamos a solução complementar da equação homogênea, depois uma solução particular para a equação completa e, por fim, juntamos tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
y'' + 4y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
A equação característica é:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo para r :
r^2 = -4 r = pm 2i
Como as raízes são complexas ( alpha pm beta i ), a solução complementar yc é dada por:
yc = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
y'' + 4y = 4cos x + 3sin x - 8
A função do lado direito tem três termos: 4cos x , 3sin x e -8 . Vamos buscar uma solução particular para cada parte e depois somar.
Para os termos 4cos x + 3sin x :
Assumimos uma solução na forma:
yp1 = Acos x + Bsin x
Derivando yp1 :
yp1' = -Asin x + Bcos x yp1'' = -Acos x - Bsin x
Substituindo na equação diferencial:
(-Acos x - Bsin x) + 4(Acos x + Bsin x) = 4cos x + 3sin x
Simplificando:
(-A + 4A)cos x + (-B + 4B)sin x = 4cos x + 3sin x 3Acos x + 3Bsin x = 4cos x + 3sin x
Igualando os coeficientes:
3A = 4 Rightarrow A = 43 3B = 3 Rightarrow B = 1
Então, a solução particular para essa parte é:
yp1 = 43cos x + sin x
Para o termo constante -8 :
Assumimos uma solução particular constante:
yp2 = K
Derivando yp2 :
yp2' = 0 yp2'' = 0
Substituindo na equação diferencial:
0 + 4K = -8 4K = -8 Rightarrow K = -2
Então, a solução particular para essa parte é:
yp2 = -2
Solução Particular Total:
Somando as duas soluções particulares:
yp = yp1 + yp2 = 43cos x + sin x - 2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 43cos x + sin x - 2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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