Obtenha a solução geral da seguinte equação diferencial, pelo método dos coeficientes indeterminados.
Essa questalo é distribuida da seguinte maneira: ( 1,0 ) obter a soluçao complementar yc:
obter a solução particular
obter a solução geral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos forçados (como os cossenos, senos e constantes aqui). Vamos dividir a resolução em partes: primeiro, achamos a solução complementar da equação homogênea, depois uma solução particular para a equação completa e, por fim, juntamos tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem o lado direito:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas (
), a solução complementar
é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A função do lado direito tem três termos:
,
e
. Vamos buscar uma solução particular para cada parte e depois somar.
Para os termos
:
Assumimos uma solução na forma:
Derivando
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:
Para o termo constante
:
Assumimos uma solução particular constante:
Derivando
:
Substituindo na equação diferencial:
Então, a solução particular para essa parte é:
Solução Particular Total:
Somando as duas soluções particulares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.