Problemas

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
& (1) (2 x+3)+(2 y-2) y^prime=0 & (2) (2 x+4 y)+(2 x-2 y) y^prime=0 & (3) (3 x^2-2 x y+2) d x+(6 y^2-x^2+3) d y=0 & (4) (2 x y^2+2 y)+(2 x^2 y+2 x) y^prime=0 & (5) d yd x=-a x+b yb x+c y & (6) d yd x=-a x-b yb x-c y & (7) (e^x sen y-2 y sen x) d x+(e^x cos y+2 cos x) d y=0 & (8) (e^x sen y+3 y) d x-(3 x-e^x sen y) d y=0 & (9) (y e^x y cos 2 x-2 e^x y sen 2 x+2 x) d x & (10) (x e^x y cos 2 x-3) d y=0 & (1) (x ln y+6 x) d x+(ln x-2) d y=0, x>0 & (12) x d x(x^2+y^2)^3 / 2+y d y(x^2+y^2)^3 / 2=0

Passo 1

O enunciado pede para cada uma das equações de 1 a 12 escrever na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
verificar se ela é exata (isto é, se partial M/partial y = partial N/partial x) e, quando for exata, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M, partial Phipartial y=N,
de modo que a solução geral seja Phi(x,y)=C.

Passo 2

Calculemos partial Mpartial y e partial Npartial x para cada problema:
(1) M=2x+3, N=2y-2; Rightarrow; partial Mpartial y=0, partial Npartial x=0 to exata.
(2) M=2x+4y, N=2x-2y; Rightarrow; partial Mpartial y=4, partial Npartial x=2 to não exata.
(3) M=3x^2-2xy+2, N=6y^2-x^2+3; Rightarrow; partial Mpartial y=-2x, partial Npartial x=-2x to exata.
(4) M=2xy^2+2y, N=2x^2y+2x; Rightarrow; partial Mpartial y=4xy+2, partial Npartial x=4xy+2 to exata.
(5) dydx=-ax+bybx+cy;\leftrightarrow; (5)' ; M=ax+by, N=bx+cy; Rightarrow; partial Mpartial y=b, partial Npartial x=b to exata.
(6) dydx=-ax-bybx-cy;\leftrightarrow; (6)' ; M=ax-by, N=bx-cy; Rightarrow; partial Mpartial y=-b, partial Npartial x=b to não exata.
(7) M=e^xsin y-2ysin x, N=e^xcos y+2cos x; Rightarrow; partial Mpartial y=e^xcos y-2sin x, partial Npartial x=e^xcos y-2sin x to exata.
(8) M=e^xsin y+3y, N=e^xsin y-3x; Rightarrow; partial Mpartial y=e^xcos y+3, partial Npartial x=e^xsin y-3 to não exata.
(9) está dado só M,dx sem termo em dy, não é forma exata usual.
(10) só há termo em dy, não exata.
(11) M=xln y+6x, N=ln x-2; Rightarrow; partial Mpartial y=xy, partial Npartial x=1x to não exata.
(12) M=dfracx(x^2+y^2)^3/2, N=dfracy(x^2+y^2)^3/2; Rightarrow; partial Mpartial y=-tfrac3xy(x^2+y^2)^5/2, partial Npartial x=-tfrac3xy(x^2+y^2)^5/2 to exata.
Portanto as exatas são (1) , (3) , (4) , (5) , (7) e (12) .

Passo 3

Resolver a exata ( 1):
M=2x+3;Rightarrow;Phi(x,y)=integral(2x+3),dx = x^2+3x + h(y)
Como Phiy = h'(y) deve valer N=2y-2, temos h'(y)=2y-2 Rightarrow h=y^2-2y.
Logo a solução implícita é
Phi(x,y)=x^2+3x+y^2-2y = C

Passo 4

Resolver a exata ( 3):
M=3x^2-2xy+2;Rightarrow;Phi=integral(3x^2-2xy+2),dx = x^3 - x^2y +2x + h(y)
Como Phiy = -x^2 + h'(y) deve ser 6y^2 - x^2 +3, segue h'(y)=6y^2+3 Rightarrow h=2y^3+3y.
Solução:
Phi(x,y)=x^3 - x^2y +2x +2y^3+3y = C

Passo 5

Resolver a exata ( 4):
M=2xy^2+2y;Rightarrow;Phi=integral(2xy^2+2y),dx = x^2y^2+2xy + h(y)
Como Phiy=2x^2y+2x + h'(y) deve ser N=2x^2y+2x, obtemos h'(y)=0.
Solução:
Phi(x,y)=x^2y^2 +2xy = C

Passo 6

Resolver a exata ( 5):
M=ax+by;Rightarrow;Phi=integral(ax+by),dx = tfraca2x^2 + bxy + h(y)
Como Phiy = bx + h'(y) deve ser N=bx+cy, segue h'(y)=cy Rightarrow h=tfracc2y^2.
Solução:
Phi(x,y)=tfraca2x^2 + bxy + tfracc2y^2 = C

Passo 7

Resolver a exata ( 7):
M=e^xsin y -2ysin x;Rightarrow;Phi=integral(e^xsin y -2ysin x),dx = e^xsin y +2ycos x + h(y)
Como Phiy=e^xcos y +2cos x + h'(y) deve ser N=e^xcos y+2cos x, vem h'(y)=0.
Solução:
Phi(x,y)=e^xsin y +2ycos x = C

Passo 8

Resolver a exata ( 12):
M=x(x^2+y^2)^3/2;Rightarrow;Phi=integral x(x^2+y^2)^3/2,dx = -1raizx^2+y^2 + h(y)
Como
Phiy=y(x^2+y^2)^3/2+h'(y) deve ser y(x^2+y^2)^3/2,
segue h'(y)=0.
Solução:
Phi(x,y)=-1raizx^2+y^2 = C Long<=ftrightarrow 1raizx^2+y^2 = C'

Resposta

As equações exatas e suas soluções implícitas são:
( 1) x^2 + 3x + y^2 - 2y = C.
( 3) x^3 - x^2y + 2x + 2y^3 + 3y = C.
( 4) x^2y^2 + 2xy = C.
( 5) tfraca2x^2 + bxy + tfracc2y^2 = C.
( 7) e^xsin y + 2ycos x = C.
( 12) -,dfrac1raizx^2+y^2 = C (ou dfrac1raizx^2+y^2=C').
As demais não são exatas.

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