Nos problemas 1-6, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
Passo 1
O enunciado pede que se determine se a equação diferencial dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas. A equação fornecida é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação relaciona
, e funções de . - Aparece o fator
multiplicando , portanto é necessário ter cuidado com ao dividir por .
Passo 2
Colocar a equação na forma explícita para
(isso facilita testar separabilidade e linearidade). Partindo de
subtrai-se
e soma-se
, ou mais direto isola-se
:
Agora divide-se por
(válido quando
):
Escrevendo como soma:
Passo 3
Definição e teste de separabilidade. Uma equação é separável se pode ser escrita como
onde o lado direito é um produto de uma função de
por uma função de
apenas. No nosso caso o lado direito é
Isto é uma soma de termos: um termo que envolve
multiplicado por uma função de
mais um termo que depende só de
. Para ser separável essa expressão teria de fatorar como
. Se existisse tal fatoração, teríamos
ou equivalentemente
O lado esquerdo é soma de uma função de
(
) e uma função de
(
), enquanto o lado direito é produto de função de
por função de
. Isso só poderia acontecer em casos muito especiais (por exemplo se
fosse constante), o que não vale em geral. Portanto a equação NÃO é separável.
Passo 4
Definição e teste de linearidade. Uma equação de primeira ordem é linear se pode ser posta na forma
com
e
funções só de
. A equação já isolada em
é
Aqui identificamos
que são funções apenas de
(novamente válido para
). Logo a equação está exatamente na forma linear de primeira ordem.
Passo 5
Comentário prático (como resolver na prova): para uma equação linear de primeira ordem usa-se o fator integrante
. No nosso caso
portanto
Multiplicando a equação linear por
obtém-se
e a solução geral fica na forma
Não é necessário avaliar a integral explícita para responder à classificação; isso mostra apenas que a equação é tratável pelo método padrão de equações lineares.
Passo 6
Conclusão final e motivação rápida: a equação pode ser escrita na forma linear de primeira ordem com
e
, portanto é linear. Não é separável porque o lado direito não se escreve como um produto
(aparece uma soma de termos dependentes de
e de
). Então a classificação é: linear (somente).
Resposta
linear