Nos problemas 1-6, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
x^{2} \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen} x-y=0

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a equação diferencial dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas. A equação fornecida é
x^{2}\frac{dy}{dx}+\sin x - y = 0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A equação relaciona y, dy/dx e funções de x.
  • Aparece o fator x^{2} multiplicando dy/dx, portanto é necessário ter cuidado com x=0 ao dividir por x^{2}.

Passo 2

Colocar a equação na forma explícita para \dfrac{dy}{dx} (isso facilita testar separabilidade e linearidade). Partindo de
x^{2}\frac{dy}{dx}+\sin x - y = 0
subtrai-se \sin x e soma-se y, ou mais direto isola-se x^{2}\dfrac{dy}{dx}:
x^{2}\frac{dy}{dx}=y-\sin x.
Agora divide-se por x^{2} (válido quando x\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{y-\sin x}{x^{2}}.
Escrevendo como soma:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^{2}}-\frac{\sin x}{x^{2}}.

Passo 3

Definição e teste de separabilidade. Uma equação é separável se pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
onde o lado direito é um produto de uma função de x por uma função de y apenas. No nosso caso o lado direito é
\frac{y}{x^{2}}-\frac{\sin x}{x^{2}}.
Isto é uma soma de termos: um termo que envolve y multiplicado por uma função de x mais um termo que depende só de x. Para ser separável essa expressão teria de fatorar como A(x)B(y). Se existisse tal fatoração, teríamos
\frac{y-\sin x}{x^{2}}=A(x)B(y)
ou equivalentemente
y-\sin x = x^{2}A(x)B(y).
O lado esquerdo é soma de uma função de y ( y) e uma função de x ( -\sin x), enquanto o lado direito é produto de função de x por função de y. Isso só poderia acontecer em casos muito especiais (por exemplo se \sin x fosse constante), o que não vale em geral. Portanto a equação NÃO é separável.

Passo 4

Definição e teste de linearidade. Uma equação de primeira ordem é linear se pode ser posta na forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
com p e q funções só de x. A equação já isolada em \dfrac{dy}{dx} é
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^{2}}y=-\frac{\sin x}{x^{2}}.
Aqui identificamos
p(x)=-\frac{1}{x^{2}},\qquad q(x)=-\frac{\sin x}{x^{2}},
que são funções apenas de x (novamente válido para x\neq0). Logo a equação está exatamente na forma linear de primeira ordem.

Passo 5

Comentário prático (como resolver na prova): para uma equação linear de primeira ordem usa-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right). No nosso caso
p(x)=-\frac{1}{x^{2}}\quad\Rightarrow\quad \int p(x)\,dx=\int -\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{1}{x},
portanto
\mu(x)=e^{1/x}.
Multiplicando a equação linear por \mu(x) obtém-se
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{1/x}\bigr)=-\frac{\sin x}{x^{2}}\,e^{1/x},
e a solução geral fica na forma
y\,e^{1/x}=\int -\frac{\sin x}{x^{2}}\,e^{1/x}\,dx + C.
Não é necessário avaliar a integral explícita para responder à classificação; isso mostra apenas que a equação é tratável pelo método padrão de equações lineares.

Passo 6

Conclusão final e motivação rápida: a equação pode ser escrita na forma linear de primeira ordem com p(x)=-1/x^{2} e q(x)=-\sin x/x^{2}, portanto é linear. Não é separável porque o lado direito não se escreve como um produto g(x)h(y) (aparece uma soma de termos dependentes de x e de y). Então a classificação é: linear (somente).

Resposta

linear

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