Exercício 1.6. Determine \operatorname{Dom}(f) se:
f(x, y, z)=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f de três variáveis
f(x,y,z)=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
A pergunta é: determinar \operatorname{Dom}(f), isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) para os quais f(x,y,z) está bem definida.

Passo 2

O que significa uma expressão “estar bem definida” (domínio)?
Domínio de uma função é o conjunto de entradas (aqui triplas (x,y,z)) para as quais todas as operações necessárias na fórmula fazem sentido e produzem um número real. Por exemplo:
  • Se a fórmula tiver uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}, exige-se que o radicando seja \ge 0.
  • Se tiver um logaritmo natural \ln(\cdot), exige-se que o argumento seja >0.
  • Se tiver apenas somas, multiplicações, potências com expoentes inteiros ou polinômios, essas operações estão definidas para quaisquer números reais.

Passo 3

Agora olhamos para as operações presentes em f(x,y,z)=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}:
  • A parte x^{2}+y^{2}+z^{2} é um polinômio em x,y,z. Polinômios estão definidos para qualquer x,y,z\in\mathbb{R}.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R} (não exige restrição adicional).
Portanto, para qualquer tripla (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} é possível calcular x^{2}+y^{2}+z^{2} e em seguida e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Não há ponto em \mathbb{R}^{3} que torne a expressão indefinida.

Passo 4

Conclusão lógica: não existe restrição sobre x,y,z vinda das operações na definição de f. Assim, o domínio é todo o espaço \mathbb{R}^{3}.
Dica prática para a prova: sempre identifique as operações que impõem restrições (raiz, log, divisão por expressão que pode ser zero, expoentes fracionários etc.). Se nenhuma dessas aparecer — apenas polinômios, exponenciais, senos, cossenos, soma e multiplicação — o domínio costuma ser todo \mathbb{R}^{n}.
Observação extra (útil para compreensão, não pedida): como x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 0 para todo (x,y,z), o menor valor do expoente é 0 (ocorre em (0,0,0)), então a imagem (contraponto ao domínio) de f é [1,\infty), pois e^{0}=1 e e^{t} cresce para +\infty quando t\to+\infty.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^{3}

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