Exercício 1.6. Determine
se:
Passo 1
O enunciado dá a função
de três variáveis
A pergunta é: determinar
, isto é, o conjunto de todos os pontos
para os quais
está bem definida.
Passo 2
O que significa uma expressão “estar bem definida” (domínio)?
Domínio de uma função é o conjunto de entradas (aqui triplas ) para as quais todas as operações necessárias na fórmula fazem sentido e produzem um número real. Por exemplo:
Domínio de uma função é o conjunto de entradas (aqui triplas
- Se a fórmula tiver uma raiz quadrada
, exige-se que o radicando seja . - Se tiver um logaritmo natural
, exige-se que o argumento seja . - Se tiver apenas somas, multiplicações, potências com expoentes inteiros ou polinômios, essas operações estão definidas para quaisquer números reais.
Passo 3
Agora olhamos para as operações presentes em
:
- A parte
é um polinômio em . Polinômios estão definidos para qualquer . - A função exponencial
está definida para todo (não exige restrição adicional).
Portanto, para qualquer tripla
é possível calcular
e em seguida
. Não há ponto em
que torne a expressão indefinida.
Passo 4
Conclusão lógica: não existe restrição sobre
vinda das operações na definição de
. Assim, o domínio é todo o espaço
.
Dica prática para a prova: sempre identifique as operações que impõem restrições (raiz, log, divisão por expressão que pode ser zero, expoentes fracionários etc.). Se nenhuma dessas aparecer — apenas polinômios, exponenciais, senos, cossenos, soma e multiplicação — o domínio costuma ser todo
.
Observação extra (útil para compreensão, não pedida): como
para todo
, o menor valor do expoente é
(ocorre em
), então a imagem (contraponto ao domínio) de
é
, pois
e
cresce para
quando
.