Nos problemas 5-8, determine o gradiente da função dada no ponto indicado.
f(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ;(-4 ; 3 ; 5)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
no ponto (-4,3,5). Para isso, usaremos a definição de gradiente e as derivadas parciais de funções compostas.

Passo 2

Seja u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Então
f(x,y,z)=\ln\bigl(u(x,y,z)\bigr)
e, pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
e, de modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =\frac{2z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 3

No ponto (-4,3,5), calculamos primeiro
x^{2}+y^{2}+z^{2} =(-4)^{2}+3^{2}+5^{2} =16+9+25 =50.
Logo,
\nabla f(-4,3,5) =\Bigl(\tfrac{2\cdot(-4)}{50},\,\tfrac{2\cdot3}{50},\,\tfrac{2\cdot5}{50}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{8}{50},\,\tfrac{6}{50},\,\tfrac{10}{50}\Bigr).

Passo 4

Bast<| vq_11118|> \nabla f(-4,3,5) =\Bigl(-\tfrac{4}{25},\,\tfrac{3}{25},\,\tfrac{1}{5}\Bigr).

Resposta

\nabla f(-4,3,5)=\bigl(-\tfrac{4}{25},\tfrac{3}{25},\tfrac{1}{5}\bigr)

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