Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes:
Para isso, vamos usar duas etapas: achar primeiro a solução complementar (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular (pelo método dos coeficientes indeterminados).
Passo 2
Olhando só a parte homogênea, montamos a equação característica:
Fatorando, percebemos que
logo as raízes são
e
. A solução complementar é
Passo 3
Agora vamos à parte não homogênea. Primeiro tratamos o termo
. Como
corresponde à raiz
da característica (multiplicidade 1), fazemos o palpite:
Calculando derivadas e somando no lado esquerdo, chega-se a
Para isso ser igual a
precisamos de
, ou seja
. Portanto
Passo 4
Agora tratamos o termo polinomial
. Como
não é raiz da característica, fazemos o palpite clássico:
Então
,
,
e
Queremos isso igual a
, logo
Assim
Passo 5
Juntando tudo, a solução geral é a soma de
,
e
: