Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
3. y^prime prime prime+y^prime prime+y^prime+y=e^-t+4 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes:
y''' + y'' + y' + y = e^-t + 4t
Para isso, vamos usar duas etapas: achar primeiro a solução complementar (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular (pelo método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Olhando só a parte homogênea, montamos a equação característica:
r^3 + r^2 + r + 1 = 0
Fatorando, percebemos que
r^3 + r^2 + r + 1 = (r + 1)(r^2 + 1) = 0,
logo as raízes são r=-1 e r=pm i. A solução complementar é
yc = C1 e^-t + C2 ,cos t + C3 ,sin t

Passo 3

Agora vamos à parte não homogênea. Primeiro tratamos o termo e^-t. Como e^-t corresponde à raiz r=-1 da característica (multiplicidade 1), fazemos o palpite:
yp1 = A ,t e^-t
Calculando derivadas e somando no lado esquerdo, chega-se a
y''' + y'' + y' + y = 2A e^-t
Para isso ser igual a e^-t precisamos de 2A = 1, ou seja A = tfrac12. Portanto
yp1 = tfrac12 ,t e^-t

Passo 4

Agora tratamos o termo polinomial 4t. Como r=0 não é raiz da característica, fazemos o palpite clássico:
yp2 = a t + b
Então y' = a, y''=0, y'''=0 e
y''' + y'' + y' + y = a t + (a + b)
Queremos isso igual a 4t, logo
a = 4, a + b = 0 implies b = -4
Assim
yp2 = 4t - 4

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral é a soma de yc, yp1 e yp2:
y = C1 e^-t + C2 ,cos t + C3 ,sin t + tfrac12 ,t e^-t + 4t - 4

Resposta

y = C1 e^-t + C2 ,cos t + C3 ,sin t + tfrac12 ,t e^-t + 4t - 4

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