Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a sua soma.
sumn=1^infty(-5)^n-1 4^-n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty(-5)^n-14^-n converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é séries geométricas, e vamos precisar identificar o termo geral na forma de progressão geométrica e aplicar o critério de convergência correspondente.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral an de modo a evidenciar a razão r. Começamos com
an = (-5)^n-14^-n = (-5)^n-1cdot14^n = 14,(-1)^n-1l(tfrac54r)^n-1 = 14l(-54r)^n-1

Passo 3

Dessa forma, trata-se de uma série geométrica com primeiro termo a1=tfrac14 e razão
r = -54

Passo 4

Para que uma série geométrica sum a1r^n-1 converja, é necessário e suficiente que |r|<1. Aqui temos
|r| = l| -tfrac54 r| = tfrac54 > 1,

Passo 5

logo o critério não é satisfeito e os termos an nem sequer tendem a zero. Portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge porque o módulo da razão geométrica é maior que 1.

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