ptos) Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a integral
. O conteúdo que vamos usar aqui é integração por frações parciais. Basicamente, vamos separar essa fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos decompor a fração
em frações menores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como a soma de duas frações simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Juntando os termos com
e os constantes:
Passo 5
Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para os termos com
:
- Para os termos constantes:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para resolver:
Podemos resolver multiplicando a primeira equação por 2:
E somar com a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Agora que temos os valores de
e
, podemos reescrever a fração original:
Ou seja,
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que
, então:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.