( 6,0 ptos) Calcular as integrais seguintes utilizando o método apropriado:
integral 5 x-3(x-3)(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a integral integral 5x - 3(x - 3)(x - 2) dx. O conteúdo que vamos usar aqui é integração por frações parciais. Basicamente, vamos separar essa fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos decompor a fração 5x - 3(x - 3)(x - 2) em frações menores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração como a soma de duas frações simples:
5x - 3(x - 3)(x - 2) = Ax - 3 + Bx - 2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 3)(x - 2) para eliminar as frações:
5x - 3 = A(x - 2) + B(x - 3)

Passo 4

Agora, vamos expandir e organizar os termos:
5x - 3 = A x - 2A + B x - 3B
Juntando os termos com x e os constantes:
5x - 3 = (A + B)x - (2A + 3B)

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para os termos com x:
A + B = 5
  1. Para os termos constantes:
-2A - 3B = -3

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para resolver:
A + B = 5 -2A - 3B = -3
Podemos resolver multiplicando a primeira equação por 2:
2A + 2B = 10
E somar com a segunda equação:
(2A + 2B) + (-2A - 3B) = 10 + (-3) - B = 7 B = -7
Substituindo B = -7 na primeira equação:
A - 7 = 5 A = 12

Passo 7

Agora que temos os valores de A e B, podemos reescrever a fração original:
5x - 3(x - 3)(x - 2) = 12x - 3 + -7x - 2
Ou seja,
5x - 3(x - 3)(x - 2) = 12x - 3 - 7x - 2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 12x - 3 - 7x - 2 ) dx = 12 integral 1x - 3 dx - 7 integral 1x - 2 dx
Sabemos que integral 1x - a dx = ln|x - a|, então:
12 ln|x - 3| - 7 ln|x - 2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 12, ln|x - 3| - 7, ln|x - 2| + C.

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