Nos Problemas 1-8, determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contomo dadas.
partial upartial x|x=0=0, partial upartial x|x=a=0
u(x, 0)=x, u(x, b)=0

Passo 1

Temos uma placa retangular 0<= x<= a,;0<= y<= b em regime estacionário, de modo que
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0
As condições de contorno são Neumann nas bordas x=0 e x=a:
partial upartial x|x=0=0, partial upartial x|x=a=0,
e Dirichlet nas bordas y=0 e y=b:
u(x,0)=x, u(x,b)=0
Para resolver, usamos separação de variáveis em séries de cossenos (devido às Neumann em x).

Passo 2

Procuramos solução na forma
u(x,y)=A0(y)+sumn=1^inftyAn(y),cos!l(tfracnpi xar)
Inserindo na equação de Laplace, obtemos para cada modo
A0''(y)=0, An''(y)-l(tfracnpiar)^2An(y)=0(n>=1)

Passo 3

Da primeira equação vem
A0(y)=C,y+D
Como u(x,b)=0 para todo x, precisamos de A0(b)=0, ou seja
C,b+D=0Longrightarrow C=-Db
Portanto
A0(y)=Dl(1-ybr)

Passo 4

Para n>=1, a equação é homogênea com solução geral em termos de exponenciais ou senos hiperbólicos. Impondo u(x,b)=0 anula o modo em y=b, fica natural escrever
An(y)=Cn,sinh!l(tfracnpi,(b-y)ar),
que satisfaz An(b)=0. Na linha y=0 teremos An(0)=Cn,sinh(tfracnpi ba).

Passo 5

Agora impomos u(x,0)=x. Em y=0
u(x,0)=A0(0)+sumn=1^infty An(0)cos!l(tfracnpi xar) =D+sumn=1^infty Cn,sinh!l(tfracnpi bar)cos!l(tfracnpi xar) stackrel!=x
Devemos expandir f(x)=x em série de cossenos em [0,a]. Sabe-se que
x=a2-4api^2sumk=0^infty1(2k+1)^2 cos!l(tfrac(2k+1)pi xar)

Passo 6

Comparando termos constantes e coeficientes de
Logo, para par . Também .

Passo 7

Substituindo tudo na série, a temperatura de estado estacionário é
u(x,y)=a2l(1-ybr) -sumk=0^infty4a(2k+1)^2pi^2 sinh!l(tfrac(2k+1)pi,(b-y)ar) sinh!l(tfrac(2k+1)pi bar) cos!l(tfrac(2k+1)pi xar)

Resposta

u(x,y)=a2l(1-ybr) -sumk=0^infty4a(2k+1)^2pi^2 ;sinh!l(tfrac(2k+1)pi,(b-y)ar) sinh!l(tfrac(2k+1)pi bar) ;cos!l(tfrac(2k+1)pi xar)

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