Nos Problemas 1-8, determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contomo dadas.
l u(0, y)=0, u(a, y)=0 partial upartial y|y=0=0, u(x, b)=f(x)

Passo 1

Estamos buscando a temperatura em regime estacionário u(x,y) numa placa retangular 0<x<a,;0<y<b que satisfaz a equação de Laplace
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0
com as condições de contorno
u(0,y)=0, u(a,y)=0, partial upartial y|y=0=0, u(x,b)=f(x)
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e depois ajustar coeficientes por série de Fourier.

Passo 2

Assumimos a forma separável
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em De<a u=0 obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y)=0 Longrightarrow X''(x)+lambda X(x)=0, Y''(y)-lambda Y(y)=0,
onde lambda é constante de separação. As condições u(0,y)=0 e u(a,y)=0 impõem
X(0)=0, X(a)=0

Passo 3

A equação para X com X(0)=X(a)=0 só admite autovalores
lambdan=l(tfracnpiar)^2, n=1,2,3,dots,
e autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpia,xr)
Para cada n, a equação de Y é
Yn''(y)-l(tfracnpiar)^2Yn(y)=0
cuja solução geral é
Yn(y)=Ancosh!l(tfracnpiayr)+Cnsinh!l(tfracnpiayr)
A condição partial u/partial y(x,0)=0 Yn'(0)=0, ou seja
Yn'(0)=Annpiasinh(0)+Cnnpiacosh(0) = Cnnpia=0 Longrightarrow Cn=0
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Yn(y)=Ancosh!l(tfracnpiayr)

Passo 4

Pela superposição,
u(x,y)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpiaxr)cosh!l(tfracnpiayr)
Em y=b isso deve igualar f(x):
f(x)=u(x,b)=sumn=1^inftyAncosh!l(tfracnpiabr)sin!l(tfracnpiaxr)
Reconhecemos série de Fourier-seno em 0<x<a, cujo coeficiente é
Ancosh!l(tfracnpiabr) =2aintegral0^af(x),sin!l(tfracnpiaxr),dx
Portanto
An =2a,cosh!l(tfracnpiabr) integral0^af(x),sin!l(tfracnpiaxr),dx

Resposta

A temperatura em regime estacionário é
boxed u(x,y) =sumn=1^infty gl[2a,cosh!l(tfracnpiabr) integral0^af(s),sin!l(tfracnpiasr),dsgr] sin!l(tfracnpiaxr), cosh!l(tfracnpiayr)

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