Nos Problemas 1-8, determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contomo dadas.
Passo 1
Estamos buscando a temperatura em regime estacionário
u(x,y) numa placa retangular
0<x<a,;0<y<b que satisfaz a equação de Laplace
com as condições de contorno
Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis e depois ajustar coeficientes por série de Fourier.
Passo 2
Assumimos a forma separável
Substituindo em
De<a u=0 obtemos
onde
lambda é constante de separação. As condições
u(0,y)=0 e
u(a,y)=0 impõem
Passo 3
A equação para
X com
X(0)=X(a)=0 só admite autovalores
e autofunções
Para cada
n , a equação de
Y é
cuja solução geral é
A condição
partial u/partial y(x,0)=0 dá
Yn'(0)=0 , ou seja
Logo
Passo 4
Pela superposição,
Em
y=b isso deve igualar
f(x) :
Reconhecemos série de Fourier-seno em
0<x<a , cujo coeficiente é
Portanto
Resposta
A temperatura em regime estacionário é