Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime prime+y^prime prime=e^x cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
A equação é
y''' + y'' = e^x cos x
Vamos usar teoria de EDO lineares e o método de coeficientes indeterminados para obter a parte homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea montamos a equação característica:
r^3 + r^2 = 0 implies r^2(r+1)=0
As raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=-1. Dessa forma a solução homogênea é
yh = C1 + C2 x + C3 e^-x.

Passo 3

Para a parte particular aplicamos o método de coeficientes indeterminados. O termo forçante é e^x cos x, então propomos
yp = e^x(A cos x + B sin x).

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = e^x[(A+B)cos x + (B-A)sin x]
yp'' = 2e^x[Bcos x - Asin x]
yp''' = 2e^x[(B-A)cos x - (A+B)sin x]
Em seguida somamos
yp'''+yp'' = 2e^x[(2B - A)cos x + (-2A - B)sin x] e já temos a expressão para igualar ao lado direito.

Passo 5

Igualando yp'''+yp'' ao lado direito e^x cos x e cancelando e^x, obtemos o sistema
2(2B - A) = 1
2(-2A - B) = 0
Resolvendo vem A = -tfrac110 e B = tfrac15.

Passo 6

Logo a solução particular fica
yp = e^xl(-110cos x + 15sin xr).

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma de yh e yp:
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x + e^xl(-110cos x + 15sin xr).

Resposta

y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x + e^xl(-110cos x + 15sin xr)

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