Nos problemas de 1 a 4, encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
(1) sen b t

Passo 1

O enunciado dá a função \sin(bt) com a e b constantes reais (observe que aqui só aparece b). A tarefa é encontrar a transformada de Laplace dessa função, ou seja, calcular \mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a transformar é \sin(bt).
  • b é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero).
  • A transformada de Laplace é uma integral imprópria a partir de t=0 até t=\infty.

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar (aula rápida e prática).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Para a integral convergir precisamos de uma condição do tipo \Re(s)>\sigma_0 (valor que garante decaimento exponencial em e^{-st}). No nosso caso, para funções oscilatórias como \sin(bt) a condição de convergência será \Re(s)>0. A ideia é escrever a integral e calculá‑la explicitamente.

Passo 3

Escrever a transformada como integral.
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(bt)\,dt.
Vamos calcular essa integral. Uma maneira prática é usar a exponencial complexa: \sin(bt)=\Im\!\big(e^{i b t}\big). Assim podemos integrar a exponencial complexa e depois tomar a parte imaginária.

Passo 4

Calcular usando exponencial complexa.
Primeiro integramos a exponencial:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{i b t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i b)t}\,dt.
Essa integral converge se \Re(s-i b)=\Re(s)>0 e seu valor é
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i b)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-i b)t}}{-(s-i b)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-i b},
onde se usou que e^{-(s-i b)t}\to 0 quando t\to\infty se \Re(s)>0.

Passo 5

Tomar a parte imaginária para obter a integral com \sin(bt).
Como \sin(bt)=\Im(e^{i b t}),
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(bt)\,dt=\Im\!\left(\frac{1}{s-i b}\right).
Agora escrevemos \dfrac{1}{s-i b} em forma real/imag:
\frac{1}{s-i b}=\frac{s+i b}{s^{2}+b^{2}}.
A parte imaginária dessa fração é \dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(bt)\,dt=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},
válido para \Re(s)>0.

Passo 6

Interpretação final e casos especiais rápidos.
  • Resultado final: \mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}} com região de convergência \Re(s)>0.
  • Se b=0 então \sin(0\cdot t)=0 e a transformada é 0; a fórmula anterior também dá 0 nesse caso.
  • Se b<0 a fórmula continua válida porque só aparece b^{2} no denominador e o numerador muda de sinal (o que corresponde à paridade ímpar de \sin).
Força aí — memorize \mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}; dá para deduzir rápido na prova usando esse mesmo método.

Resposta

\displaystyle \frac{b}{s^{2}+b^{2}},\\ \Re(s)>0

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