Nos problemas de 1 a 4, encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
(1) sen
(1) sen
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e
constantes reais (observe que aqui só aparece
). A tarefa é encontrar a transformada de Laplace dessa função, ou seja, calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função a transformar é
. -
é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero). - A transformada de Laplace é uma integral imprópria a partir de
até .
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar (aula rápida e prática).
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável complexa. Para a integral convergir precisamos de uma condição do tipo
(valor que garante decaimento exponencial em
). No nosso caso, para funções oscilatórias como
a condição de convergência será
. A ideia é escrever a integral e calculá‑la explicitamente.
Passo 3
Escrever a transformada como integral.
Vamos calcular essa integral. Uma maneira prática é usar a exponencial complexa:
. Assim podemos integrar a exponencial complexa e depois tomar a parte imaginária.
Passo 4
Calcular usando exponencial complexa.
Primeiro integramos a exponencial:
Primeiro integramos a exponencial:
Essa integral converge se
e seu valor é
onde se usou que
quando
se
.
Passo 5
Tomar a parte imaginária para obter a integral com
.
Como ,
Como
Agora escrevemos
em forma real/imag:
A parte imaginária dessa fração é
. Portanto
válido para
.
Passo 6
Interpretação final e casos especiais rápidos.
- Resultado final:
com região de convergência . - Se
então e a transformada é ; a fórmula anterior também dá nesse caso. - Se
a fórmula continua válida porque só aparece no denominador e o numerador muda de sinal (o que corresponde à paridade ímpar de ).
Força aí — memorize
; dá para deduzir rápido na prova usando esse mesmo método.