(2,5 pt.) Considere a função: f(x)=e^{-|x| / x_{0}} /\left(2 x_{0}\right)
(a) (0,5 pt.) Esboce o comportamento desta função.
(b) (0,5 pt.) Qual sua largura típica? (Justifique a resposta)
(c) (0,5 pt.) Calcule a tranformada de Fourier F(k).
(d) (0,5 pt.) Esboce o comportamento de F(k).
(e) (0,5 pt.) Qual a largura no espaço transformado? (Justifique a resposta)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{e^{-|x|/x_{0}}}{2x_{0}},
com x_{0}>0. O que é pedido:
(a) esboçar o comportamento de f(x);
(b) indicar a sua largura típica e justificar;
(c) calcular a transformada de Fourier F(k);
(d) esboçar o comportamento de F(k);
(e) indicar a largura no espaço transformado e justificar.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
  • A função contém |x|, portanto é simétrica em relação a x=0.
  • Há um parâmetro escala x_{0} com dimensão de comprimento que controla a queda exponencial.
  • A função está normalizada (verificação possível) porque é a forma padrão da distribuição de Laplace (dupla exponencial).

Passo 2

(a) Descrição detalhada do comportamento de f(x) — eu te explico passo a passo pra você desenhar mentalmente ou no caderno.
  • Valor no centro: em x=0,
f(0)=\frac{e^{0}}{2x_{0}}=\frac{1}{2x_{0}}.
Isso é o máximo da função (pense num pico em x=0).
  • Simetria: como a função depende de |x|, ela é par: f(-x)=f(x). Ou seja, o gráfico é simétrico à esquerda e à direita de x=0.
  • Decaimento: para x\to\pm\infty,
f(x)\sim \frac{1}{2x_{0}}e^{-|x|/x_{0}}\to 0.
Logo caimento exponencial nas duas direções com comprimento de decaimento x_{0}.
  • Diferenciabilidade: há um “canto” em x=0 (derivada esquerda e direita diferentes) porque |x| tem um canto. Isso gera um pico pontudo (não suavíssimo) em x=0.
Esboço mental para desenhar: um pico centrado em x=0 com altura 1/(2x_{0}), decaindo exponencialmente para as duas direções; simétrico e com “canto” em x=0.

Passo 3

(b) Qual é a largura típica? Vou mostrar três medidas comuns de “largura” e justificar por que dizer que a escala típica é x_{0} faz sentido.
  1. Comprimento de decaimento (escala exponencial): a função tem fator e^{-|x|/x_{0}}, então x_{0} é exatamente a distância sobre a qual a exponencial decai por um fator e. Isso já é um argumento direto: a largura típica é da ordem de x_{0}.
  2. Largura à meia altura (FWHM — full width at half maximum). O máximo é f(0)=1/(2x_{0}). Metade do máximo é 1/(4x_{0}). Resolver
\frac{e^{-|x|/x_{0}}}{2x_{0}}=\frac{1}{4x_{0}}
e^{-|x|/x_{0}}=\tfrac{1}{2}, portanto |x|=x_{0}\ln 2. Assim
\text{FWHM}=2x_{0}\ln 2 \approx 1{,}386\,x_{0}.
Isso mostra que a largura medida por FWHM é proporcional a x_{0}.
  1. Desvio padrão (quando aplicável): aqui a média é zero por simetria, então a variância é
\mathrm{Var}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}f(x)\,dx.
Calculo rápido (usar simetria e substituição t=x/x_{0}):
\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{x_{0}}\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/x_{0}}\,dx = \frac{1}{x_{0}}\cdot x_{0}^{3}\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-t}\,dt = \frac{x_{0}^{2}}{1}\cdot 2 = 2x_{0}^{2}.
Logo o desvio padrão é \sqrt{2}\,x_{0}\approx 1{,}414\,x_{0}. Novamente a largura típica é da ordem de x_{0}.
Conclusão deste passo: tanto pelo comprimento de decaimento, quanto por FWHM, quanto pelo desvio padrão, a escala típica de largura é proporcional a x_{0}. É natural, e suficiente para a prova, dizer que a largura típica é da ordem de x_{0}.

Passo 4

(c) Calcular a transformada de Fourier F(k). Primeiro defino claramente a convenção que vou usar (importante para a prova):
F(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-ikx}\,dx.
Agora calculamos passo a passo.
  • Observação: f(x) é função par, logo f(x)e^{-ikx} ao integrar dá uma parte real com cosseno. Mais precisamente,
F(k)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-|x|/x_{0}}}{2x_{0}}e^{-ikx}\,dx =\frac{1}{2x_{0}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|/x_{0}}e^{-ikx}\,dx.
Usando paridade, podemos escrever
F(k)=\frac{1}{x_{0}}\int_{0}^{\infty} e^{-x/x_{0}}\cos(kx)\,dx.
  • Agora uso a fórmula integral (vou justificar): para a>0 e real b,
\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos(bx)\,dx=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(a-ib)x}\,dx\right) =\Re\!\left(\frac{1}{a-ib}\right)=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.
Aqui a=\tfrac{1}{x_{0}} e b=k. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-x/x_{0}}\cos(kx)\,dx=\frac{1/x_{0}}{(1/x_{0})^{2}+k^{2}}.
Simplificando:
\frac{1/x_{0}}{1/x_{0}^{2}+k^{2}}=\frac{1/x_{0}}{(1+k^{2}x_{0}^{2})/x_{0}^{2}}=\frac{x_{0}}{1+k^{2}x_{0}^{2}}.
  • Voltando para F(k):
F(k)=\frac{1}{x_{0}}\cdot \frac{x_{0}}{1+k^{2}x_{0}^{2}}=\frac{1}{1+k^{2}x_{0}^{2}}.
Assim, a transformada de Fourier é uma função de Lorentz (função racional):
\boxed{F(k)=\frac{1}{1+k^{2}x_{0}^{2}}.}

Passo 5

(d) Esboço do comportamento de F(k) — explicação e como desenhar.
  • Valor no centro: F(0)=1. Isso corresponde à integral de f(x) (normalização), já que F(0)=\int f(x)\,dx=1.
  • Simetria: F(k) é função par e real (porque f é real e par). O gráfico é um pico centrado em k=0.
  • Forma: F(k) é uma Lorentziana (ou Cauchy-like):
F(k)=\frac{1}{1+(k x_{0})^{2}}.
Ela tem cauda lenta do tipo \sim 1/k^{2} quando |k|\to\infty. Em contraste com transformadas de gaussiana (que decaem exponencialmente em k^{2}), aqui a cauda polinomial é consequência do canto (não suavidade) em x=0.
  • Ponto importante: a presença de |x| (canto) causa uma queda em k lenta (power-law). Visualmente: um pico arredondado em k=0 que cai como 1/k^{2} nas caudas.

Passo 6

(e) Largura no espaço transformado — justificativa numérica e conceitual.
  • Usei a medida HWHM (half width at half maximum): F(0)=1, metade disso é 1/2. Resolver
\frac{1}{1+(k x_{0})^{2}}=\frac{1}{2}
leva a (k x_{0})^{2}=1, ou seja |k|=1/x_{0}. Portanto a HWHM é 1/x_{0} e a FWHM vale 2/x_{0}. Isso dá uma medida direta da largura em k-espaço:
\text{largura típica em }k\sim \frac{1}{x_{0}}.í
  • Observação sobre outras medidas: a Lorentziana tem caudas que fazem a variância em k-espalço divergir (a integral de k^{2}F(k) diverge), então não se pode usar desvio padrão como medida de largura em k. Por isso a HWHM é uma escolha sólida aqui.
  • Relação inversa: combinar as duas larguras típicas obtidas (no espaço real e em k) mostra o caráter inverso:
(\text{escala em }x)\times(\text{escala em }k)\sim x_{0}\cdot\frac{1}{x_{0}}\sim 1,
ou, numericamente com FWHM, (2x_{0}\ln 2)\cdot(2/x_{0})=4\ln 2\approx 2{,}77. Isso reforça a ideia intuitiva de que largura em k é da ordem de 1/x_{0}.

Resposta

(a) Pico simétrico em x=0 com altura f(0)=\dfrac{1}{2x_{0}}, decaimento exponencial nas duas direções proporcional a e^{-|x|/x_{0}}; canto (não suavidade) em x=0.
(b) Largura típica da ordem de x_{0}. Medidas: \text{FWHM}=2x_{0}\ln 2, desvio padrão \sigma=\sqrt{2}\,x_{0}.
(c) \displaystyle F(k)=\frac{1}{1+k^{2}x_{0}^{2}}.
(d) F(k) é uma Lorentziana (par, máxima F(0)=1) que decai como \sim 1/k^{2} para |k|\to\infty.
(e) Largura típica em k é da ordem de 1/x_{0}; HWHM =1/x_{0} (FWHM =2/x_{0}).

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