(2,5 pt.) Considere a função:
(a) (0,5 pt.) Esboce o comportamento desta função.
(b) (0,5 pt.) Qual sua largura típica? (Justifique a resposta)
(c) (0,5 pt.) Calcule a tranformada de Fourier
.
(d) (0,5 pt.) Esboce o comportamento de
.
(e) (0,5 pt.) Qual a largura no espaço transformado? (Justifique a resposta)
(a) (0,5 pt.) Esboce o comportamento desta função.
(b) (0,5 pt.) Qual sua largura típica? (Justifique a resposta)
(c) (0,5 pt.) Calcule a tranformada de Fourier
(d) (0,5 pt.) Esboce o comportamento de
(e) (0,5 pt.) Qual a largura no espaço transformado? (Justifique a resposta)
Passo 1
O enunciado dá a função
com
. O que é pedido:
(a) esboçar o comportamento de ;
(b) indicar a sua largura típica e justificar;
(c) calcular a transformada de Fourier ;
(d) esboçar o comportamento de ;
(e) indicar a largura no espaço transformado e justificar.
(a) esboçar o comportamento de
(b) indicar a sua largura típica e justificar;
(c) calcular a transformada de Fourier
(d) esboçar o comportamento de
(e) indicar a largura no espaço transformado e justificar.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
- A função contém
, portanto é simétrica em relação a . - Há um parâmetro escala
com dimensão de comprimento que controla a queda exponencial. - A função está normalizada (verificação possível) porque é a forma padrão da distribuição de Laplace (dupla exponencial).
Passo 2
(a) Descrição detalhada do comportamento de
— eu te explico passo a passo pra você desenhar mentalmente ou no caderno.
- Valor no centro: em
,
Isso é o máximo da função (pense num pico em
).
-
Simetria: como a função depende de
, ela é par: . Ou seja, o gráfico é simétrico à esquerda e à direita de . -
Decaimento: para
,
Logo caimento exponencial nas duas direções com comprimento de decaimento
.
- Diferenciabilidade: há um “canto” em
(derivada esquerda e direita diferentes) porque tem um canto. Isso gera um pico pontudo (não suavíssimo) em .
Esboço mental para desenhar: um pico centrado em
com altura
, decaindo exponencialmente para as duas direções; simétrico e com “canto” em
.
Passo 3
(b) Qual é a largura típica? Vou mostrar três medidas comuns de “largura” e justificar por que dizer que a escala típica é
faz sentido.
-
Comprimento de decaimento (escala exponencial): a função tem fator
, então é exatamente a distância sobre a qual a exponencial decai por um fator . Isso já é um argumento direto: a largura típica é da ordem de . -
Largura à meia altura (FWHM — full width at half maximum). O máximo é
. Metade do máximo é . Resolver
dá
, portanto
. Assim
Isso mostra que a largura medida por FWHM é proporcional a
.
- Desvio padrão (quando aplicável): aqui a média é zero por simetria, então a variância é
Calculo rápido (usar simetria e substituição
):
Logo o desvio padrão é
. Novamente a largura típica é da ordem de
.
Conclusão deste passo: tanto pelo comprimento de decaimento, quanto por FWHM, quanto pelo desvio padrão, a escala típica de largura é proporcional a
. É natural, e suficiente para a prova, dizer que a largura típica é da ordem de
.
Passo 4
(c) Calcular a transformada de Fourier
. Primeiro defino claramente a convenção que vou usar (importante para a prova):
Agora calculamos passo a passo.
- Observação:
é função par, logo ao integrar dá uma parte real com cosseno. Mais precisamente,
Usando paridade, podemos escrever
- Agora uso a fórmula integral (vou justificar): para
e real ,
Aqui
e
. Portanto
Simplificando:
- Voltando para
:
Assim, a transformada de Fourier é uma função de Lorentz (função racional):
Passo 5
(d) Esboço do comportamento de
— explicação e como desenhar.
-
Valor no centro:
. Isso corresponde à integral de (normalização), já que . -
Simetria:
é função par e real (porque é real e par). O gráfico é um pico centrado em . -
Forma:
é uma Lorentziana (ou Cauchy-like):
Ela tem cauda lenta do tipo
quando
. Em contraste com transformadas de gaussiana (que decaem exponencialmente em
), aqui a cauda polinomial é consequência do canto (não suavidade) em
.
- Ponto importante: a presença de
(canto) causa uma queda em lenta (power-law). Visualmente: um pico arredondado em que cai como nas caudas.
Passo 6
(e) Largura no espaço transformado — justificativa numérica e conceitual.
- Usei a medida HWHM (half width at half maximum):
, metade disso é . Resolver
leva a
, ou seja
. Portanto a HWHM é
e a FWHM vale
. Isso dá uma medida direta da largura em
-espaço:
-
Observação sobre outras medidas: a Lorentziana tem caudas que fazem a variância em
-espalço divergir (a integral de diverge), então não se pode usar desvio padrão como medida de largura em . Por isso a HWHM é uma escolha sólida aqui. -
Relação inversa: combinar as duas larguras típicas obtidas (no espaço real e em
) mostra o caráter inverso:
ou, numericamente com FWHM,
. Isso reforça a ideia intuitiva de que largura em
é da ordem de
.
Resposta
(a) Pico simétrico em
com altura
, decaimento exponencial nas duas direções proporcional a
; canto (não suavidade) em
.
(b) Largura típica da ordem de . Medidas:
, desvio padrão
.
(c) .
(d) é uma Lorentziana (par, máxima
) que decai como
para
.
(e) Largura típica em é da ordem de
; HWHM
(FWHM
).
(b) Largura típica da ordem de
(c)
(d)
(e) Largura típica em