Em muitos problemas estamos interessados apenas a magnitude de uma variável aleatória, sem considerarmos o seu sinal algébrico. Isto é, estaremos interessados em
Seja .

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua
e define , ou seja
Para isso usaremos a propriedade
com .
]

Passo 2

Separamos a integral em duas partes, negativo e positivo:
E(Y) =integral-infty^0(-x),f(x),dx +integral0^inftyx,f(x),dx

Passo 3

Para a parte positiva, x>0 temos f(x)=e^-x2, logo
integral0^inftyx,f(x),dx =integral0^inftyxe^-x2,dx =12integral0^inftyx e^-x,dx
Como integral0^inftyx e^-x,dx=1!;=!1, resulta
integral0^inftyx,f(x),dx =12cdot1 =12

Passo 4

Para a parte negativa, x<=0 temos f(x)=e^x2 e |x|=-x, então
integral-infty^0(-x),f(x),dx =integral-infty^0(-x)e^x2,dx =12integral-infty^0(-x)e^x,dx
Fazendo a mudança de variável t=-x, quando x vai de -infty a 0, t vai de +infty a 0, fica
integral-infty^0(-x)e^x,dx =integralinfty^0t,e^-t,(-dt) =integral0^inftyt,e^-t,dt =1
Assim
integral-infty^0(-x),f(x),dx =12cdot1 =12

Passo 5

Somando as duas partes obtemos
E(Y) =12+12 =1

Resposta

E(Y)=1

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